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摘 要：本文利用函数的导数和高阶导数对曲线的凹凸性和拐点进行了较为详细的讨论，并给出了几个应用实例.
毕业论文关键词：曲线，凹凸性，应用 59184
Abstract: In this paper，the functional derivative and higher order derivatives are used to study the curve’s concave-convex and inflection point in detail, some applicational examples are given out.
Keywords: curve, concave-convex, application
目 录
1 引言 3
2 曲线凹凸性的定义及推广定义 4
3 曲线凹凸性的判定 4
4 曲线的拐点 5
4.1 曲线拐点的定义 5
4.2 曲线拐点的有关性质 5
5 曲线凹凸性的有关性质 5
6 对曲线凹凸性的有关应用 8
6.1 利用詹森 （JENSEN） 不等式解决不等式证明问题 8
6.2 利用函数的凹凸性解决函数极值 9
结 论 11
参考文献 12
致 谢 13
1 引言
曲线凹凸性是函数曲线的一种重要性态，其几何意义在于揭示曲线函数在某固定定义区间上的任意两点间的曲线弧段和连接这两点的弦的上下位置关系.曲线凹凸性在研究函数的性质和作图方面有着重要作用，凹凸性是一种比较重要的几何性质，是证明比较复杂不等式和构造不等式的有力工具.本文将讨论曲线凹凸性的定义以及判定，曲线的拐点以及拐点的有关性质，应用曲线凹凸性解决有关问题.源[自*751^`论\文"网·www.751com.cn/
2 曲线凹凸性的定义及推广定义
曲线的凹凸性反映了曲线的弯曲方向，通过凹凸性可以更深入和较为精确地掌握函数对应曲线的性质和状态，关于曲线凹凸性的定义，常见的有下列几种：
定义1 设 在区间 上的函数，若对区间 上任意两点 ， ，有
,则称 在区间 上的函数是凸的;若有
,则称 在区间 上的函数是凹的．
更一般的情况下，有
定义2[1] 设 在区间 的函数，若对 上任意两点 ， 和任意实数 总有
，则称 为 上的凸函数．反之，如果总有 ，
则称 为 上的凹函数.
在条件加强的情况下（设 在区间 上可导），有下面几种等价性定义.
定义3 设 在区间 上可导．如果 在区间 上单调增，则称 在区间 上的函数是凸的;如果 在区间 上单调减，则称 在区间 上函数是凹的．
定义4 设 处处有切线，且切线不与 轴平行．若该曲线位于其上任一点的切线之下，则称该曲线为凹的;若该曲线位于其上任一点的切线之上，则称该曲线为凸的．
3 曲线凹凸性的判定
曲线凹凸性的判定主要结论有下列几个
结论1 设 为区间 上的可导函数，若 为增函数，则 为区间 凸函数．反之，若 为减函数，则 为区间 凹函数.
结论2 设 为区间 上的可导函数，对区间 上任意两点 ， ，有
（ ），
则 为 上凸函数（凹函数）.
结论3 设 为区间 上的二阶可导函数， 在区间 为凸（凹）函数的充要条件是 ， .