- 上一篇：一些特殊微分方程的降阶问题
- 下一篇：南京楼宇经济发展指数体系及综合评价
摘 要：酉矩阵在信息论、组合数学、辛几何等众多学科领域有十分广泛的应用. 本文探讨了酉矩阵的若干性质及其应用，得到了关于酉矩阵的若干结果.
毕业论文关键词：矩阵，酉矩阵，正交矩阵，矩阵分解59192
Abstract：Unitary matrix has very wide range of applications in a wide variety of subjects such as information theory, combinatorial mathematics and symplectic geometry. In this paper,we discuss the application of the unitary matrix and several properties, and get a number of results of unitary matrix.
Keywords：Matrix，Unitary Matrix，orthogonal matrix，matrix decomposition
1 前言 4
2 酉矩阵的若干定义 4
3 酉矩阵的若干定理 4
4 酉矩阵在矩阵分解中的应用 7
结论 9
参考文献 10
1 引言
酉矩阵是正交矩阵在复数域上的推广，而正交矩阵在欧氏空间上有着许多重要的性质，为高等数学的证明和计算带来了很多便利，因此推广酉矩阵在复数领域上的性质也很重要. 本文主要介绍酉矩阵的若干定义、性质和定理，并就定理做出证明.
2 酉矩阵的若干定义
定义1[1] 在复数域中，若 阶方阵 满足 ,则称矩阵 为酉矩阵.
定义2[1] 在复数域中，若 阶方阵 满足 ,则称矩阵 为酉矩阵.
定义3[1] 在复数域中，若 阶方阵 满足 ,则称矩阵 为酉矩阵.
注： 是矩阵 的共轭转置，即 .
定义4[1] 在复数域中，若 阶方阵 的 个行（列）向量是两两正交的单位向量，则称矩阵 为酉矩阵.
3 酉矩阵的若干定理
定理1[1] 设矩阵 是酉矩阵，则其行列式的模为 ，即 ，其中 为矩阵 的行列式.
证明：因为矩阵 是酉矩阵，所以 . 所以有：
注： 是矩阵 的共轭矩阵. 源[自*751^`论\文"网·www.751com.cn/
定理2[1] 设矩阵 是酉矩阵，则 ， ， 也是酉矩阵.
证明：因为 是酉矩阵，所以有： .所以，矩阵 是酉矩阵. 因为 是酉矩阵，所以有： . 所以，矩阵 是酉矩阵. 因为 是酉矩阵，所以有： . 所以，矩阵 是酉矩阵.
定理3[1] 若 是酉矩阵，则 也是酉矩阵.
注： 是 的伴随矩阵.[4]
证明：因为 ，所以有: .
由定理1可知 ，故 . 所以 是酉矩阵.
定理4[1] 若 是酉矩阵，则 也是酉矩阵.
证明：因为 是酉矩阵，所以有： .
所以 是酉矩阵. 同理可证 也是酉矩阵.
推论1 若 是酉矩阵，则 也是酉矩阵.（ 为正整数）
推论2 若 是酉矩阵，则: .
也是酉矩阵.
推论3 若 是酉矩阵，则 也是酉矩阵.
推论4 若 是酉矩阵，则 也是酉矩阵. .
定理5[2] 若矩阵 是二阶矩阵，则 是酉矩阵的充分必要条件是 满足下列三种形式