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具体地说,考虑 变量回归模型: (1.1)
如果 的均值为零,对 取基于( )时刻的信息期望,即 ,有如下关系:
由于 的条件均值近似等于式(1.11)的估计值,所以式(1.1)也称为均值方程。
这个模型中,变量 的条件方差为
式中: 表示基于( )时刻的信息集合 的 的条件方差,出现这种情况的原因可能是因为扰动项存在自回归结构。
假设在( )时刻的所有信息条件下,扰动平方项 服从AR(1)过程:(1.2)
式中: 是白噪声过程,满足:
这样,扰动项 的条件分布是
也就是,服从以0为均值,为 方差的条件正态分布。
方差方程(1.2)表示 的条件方差 由两部分组成:一个常数项和前一时刻关于变化量的信息,用前一时刻的扰动平方 表示(ARCH项)。
由于式(1.2)中 的条件方差只依赖前一期的扰动项平方干扰,所以称为ARCH(1)过程。通常用极大似然估计得到参数 , , , , , , 的有效估计。
一个自然延伸的ARCH(p)过程,可以写为 (1.3)
这时方差方程中( )个参数 也要和回归模型中的参数
一样,利用极大似然估计法进行估计。
在ARCH(p)过程中,由于 是随机的, 不可能为负,所以对于 的所有实现值,只有
是正的,才是合理的。为使的协方差平稳,所以进一步要求方程
的根全部位于单位圆外。如果 都非负,式(1.19)等价于
。如果扰动项的条件方差不存在自相关,就有: 。这时
从而得到误差为条件方差的同方差性情形。
总之,一个ARCH(p)模型的表达式为
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