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    1.3 复数的不同形式

    复数有很多形式。第一种,代数形式为: .

                     第二种,几何形式为:复平上的点 ,或者从原点出发的向量, .

                     第三种,三角形式为: .

                     第四种,指数形式: .

    2  复数的几种几何意义

    2.1  复数其原本的几何意义

    复平面上的点以及从原点起始的向量 ,与复数 是一一对应的,其复数的模则表示有向线段 的长度,又或者是这个点到原点的距离.

    2.2  复数的加减运算其所表示的几何意义

    假设 表示向量 , 表示向量 ,并作平行四边形 ,以 , 作为他的邻边.则他的对角线 , 分别对应 和 .

    2.3  复数的乘除的几何意义

    假设 表示复数 , 表示的是复数 ,先把 按照逆时针的方向旋转 度,(如果 ,则按顺时针旋转 度).再把模变成原先的 倍,最后得向量 ,那么这个 对应的是 .

    同理,先把 以顺时针方向旋转,角度为 (如果 ,那么我们就把 按照逆时针的方向,进行旋转,角度为 ),最后将他的模缩小成原来的 倍,得到 ,并且与 相对应.[2]

    复数的代数形式很常见,很多人仅仅停留在复数的代数形式, ,没有从代数向几何转变.很多问题用复数的几何意义来看待会更加形象直观.

       有些人认为复数问题就是设 ,并且可以解答所有题目,将复数实数化确实是解决复数问题非常重要的一个思想.但是大多数人对复数的认知与理解,并没有跟着复数定义: 从一维向二维进行转变,通过对数轴上的点与实数一一对应这个思想,假设复数也可以通过用复平面上的点来进行表示。将复数从“数”转化到“形”.任何一个有序实数对 都可以唯一确定一个复数 ,并且,有序实数对 和平面直角坐标系上的点,都是一一对应的.同理,形如 的每一个复数,他们的实部 和虚部 构成的坐标 ,在复平面上都有唯一的一个点 与之对应,也就是说,在复平面上,每个复数有且仅有一个点坐标和其一一对应.源]自[751^`论\文"网·www.751com.cn/

    在学生时代,很多人运用模的代数形式运算 ,一些学生可以不需要展开代数形式或者几何意义,将模看成一个整体对象 ,这是对复数模的具体概念的理解,若坚持运用运算的方法,就会变得缺乏意义.若不能深入利用模的几何意义,仅仅知道模式表示一个圆,那么就只是了解了复数符号的最浅层的意义.只有深入了解复数的几何意义,才能从浅层意义像深层意义过度. [3]

    2.4  绝对值与复数模

    很多人简单的认为,实数的绝对值和复数的模是一样的,这是一个误区,因为复数的模和实数的绝对值的符号都是 ,应该对复数在代数形式和几何意义上进行两者的比较,会发现,在几何意义上,绝对值是实数在数轴上的对应的点到原点的距离,模是复数在平面内对应的点到原点的距离,这是一个由绝对值到模,由一维到二维的递进.

    2.5  复数的几何意义在解题中的便利

    利用复数几何意义解题,可以通过理解其几何意义的本质,更加简便的运算.复数的模的意义在几何上的理解是,复平面上表示Z的点到原点的距离.例如, 表示的是复平面上, 的点到 之间的距离,又比如, 表示的是复平面上,点 到点 之间的距离为1,他的轨迹是以 圆心,半径为1的圆.

    复数在1的N次方根问题上的应用有很大方便,如, ,在实数范围内,只有一个根,为 ,在复数范围内却有多个.通过将方程变形,变为 ,便可以分解得, ,再通过分别求出 和 这两个式子的复数根,综合起来,也就是 的复数根了.通过坐标原点,画出其单位圆,算出三个复数根对应的复平面的点为, , , ,都落在单位圆上,将三个点连接起来,形成一个等边三角形.

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