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分析 对于这个例题的证明方法是多样的，既可以采用直接证法，即从条件出发，通过一步步的推理论证导出结论；也可以选择采用反证法，即从结论的否命题出发，通过推理找出矛盾，从而证明结论的正确性。
证明 用反证法.若 在 有界，则 ，使 .选定某 ，在 （或 ）上 符合拉格朗日中值定理条件，有
在 与 之间，
于是即 在 有界，与已知条件矛盾，故 在 无界.
但是从 的导函数 在 无界的条件，不一定有 在 无界的结论.反例：
， .显然， 在 时为无穷大，而 在 却有界.
注 证明题的证明方法是不一的，推理论证是比较常见的一种证明方法，但有时候通过举出一个或一些反例来证明结论也不失为一种证明手段.
例2 若 在 上连续，又
在 上收敛,但在 处发散，证明
在 上不一致收敛.
证明 用反证法.假若积分在 上一致收敛，则对于任给 ，总存在 ,当 , 时，对一切 恒有
.
由假设 在 上连续，所以 是 的连续函数.在上面不等式中令 ，得到当 时，
.
而 是任给的，因此 在 处收敛，这与假设矛盾.所以积分 在 上不一致收敛.
注 归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程是没有固定的模式的，但是一定要从假设出发，否则推导将毫无意义.
3.2 对于待证命题的结论以“至多…”，“至少…”的形式出现，可以考虑用反证法
以“至多…”，“至少…”等形式出现的命题，其中的数量概念不容易直接把握，但考虑其反面情况往往比较容易，因此这类命题适宜用反证法来推证。在证明中应注意数量概念的否定含义，不要弄错或混淆。
例3 若 在 上连续，且 ,证明在 内至少存在两点 、 ，使 又若 ，这时 在 内是否至少有三个零点?
证明 用反证法.假设对任意的 均有 ,则由连续函数根的存在定理知， 在 内恒正或恒负.于是，根据积分不等式性质有 或 ，这与 矛盾.故至少存在一点 ，使 .