2.2 基本不等式
定理1如果 ,那么 ,当且仅当 时等号成立.
定理2(基本不等式)如果 ,那么 ,当且仅当 时等号成立.即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
结论:(1)已知 都是正数,如果 的积是定值 ,那么 ,当且仅当 时取等号.
(2)如果 的和是定值 ,那么 ,当且仅当 时取等号.
推广1: 如果 ,那么 ,当且仅当 时,等号成立.即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
推广2:如果 ,那么 ,当且仅当 时等号成立.即它们的算术平均不小于它们的几何平均.
2.3 绝对值不等式
绝对值三角不等式实数 的绝对值 的几何意义是表示数轴上坐标为 的点到点 到原点的距离:任意两个实数 在数轴上的对应点分别为 、 ,那么 的几何意义是 、 两点的距离.
定理1 如果 是实数,则 ,当且仅当 时,等号成立.(绝对值三角不等式)
如果 是实数,那么 .
定理2 如果 是实数,那么 ,当且仅当 时,等号成立.
3 不等式的证明方法和技巧
证明不等式的方法很多,它们通常利用不等式的性质、变形技巧、相近或已知的知识等综合运用,把所需证明的不等式进行转换变形,通过转换可以转化和简化问题,下面通过举例来说明不等式证明的方法和技巧.
3.1 作差比较法
比较多项式的大小通常用作差法,通过作差进行分解因式、配方、拆、拼项等判断符号,即与0的大小进行比较,然后得出结论[1].
理论依据:① ,② ,③ .
一般步骤:1、作差;
2、变形,通常用配方、因式分解、拆、拼项等恒等变形手段;
3、判断符号,确定作差与0的大小关系,在根据理论依据进行判断,如果无法判断符号,应根据题目的要求进行分类讨论;
4、得出结论.
例1(1) ;
(2) ( 均为正数,且 ).
分析:(1)中不等号两边是关于 的多项式,我们可以进行作差后因式分解,然后再根据平方差不等式进行配方,最后再判断符号,得出结论.
(2)中根据两边的形式作差后重新分组进行因式分解,提取公因式,判断符号,得出结论.