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又因为 ，
所以 ，
即 ， 得证.
例2 证明： ，其中 .
分析 本题要运用 中值定理，则必须构造出一个满足条件的函数关系式，而 正好满足 中值定理的两个条件，并且 的导数正好与所要证明的不等式相似，所以可按照这个思路往下证明.
证明 构造函数 ，则 满足 中值定理，
故存在 使得 ，
又 ， 取 ，
则有 ，
由于 ，可知 ， ，
故 ，
又 ， ，
即 得证.
注 由上述例题可知，部分特殊的不等式可用 中值定理来证明.证明不等式的关键步骤如下：
（1） 分析不等式的具体特征，构造出相应的辅助函数 ， ；
（2） 判断函数 在 上是否满足 中值定理的两个条件；若满足，则可得出： ；
（3） 根据不等式的特点，再利用 与 的性质，对上式进行适当的变形，从而使不等式得到证明.
2.2 利用柯西中值定理证明不等式
定理2[1] （柯西（ ）中值定理） 设函数 和 满足
(i)在 上都连续；
(ii)在 内都可导；
(iii) 和 不同时为零；
(iv) ，
则存在 ，使得 .
例3[2] 已知 ，证明： .
分析 本题涉及两类函数，分别是 和 ，并且两函数都满足 中值定理的条件，所以可用 中值定理来证明.