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摘要：不等式在数学中的地位非常高，而Jensen不等式是数学分析以及数学研究中常常用到的不等式之一.本论文将对Jensen不等式做一定的证明，探讨Jensen不等式在一些不等式证明与推导等方面的应用并适当作进一步的推广，为以后更灵活运用Jensen不等式奠定基础.关键词：Jensen不等式；应用；推广8448
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Jensen inequality and its application
Abstract: inequality in the position in mathematics is very high, and Jensen inequality is the mathematical analysis as well as one of the inequality is often used in mathematical research. This paper will make certain to Jensen inequality proof, explore the Jensen inequality in some inequalities with the derivation of application and suitable for further popularization, more flexible use of Jensen inequality lay the foundation for later.
Key words: Jensen inequality; Application; To promote
目 录
摘要 6
引言 7
1.预备知识 8
2.Jensen不等式定义及其证明 8
3.Jensen不等式的应用 10
3.1求解不等式问题 10
3.2证明重要不等式定理 12
4.Jensen不等式的推广 14
4.1积分型Jensen不等式 15
4.1.1定义 15
4.1.2应用举例 15
4.2.1Jensen不等式的加细 16
4.2.2加细Jensen不等式的性质 17
4.3简要说明多元Jensen不等式的定义 17
结束语 18
参考文献 19
致谢 20
Jensen不等式及其应用引言
不等式是分析研究数学问题的重要工具，在高等数学中我们也用到了各式各样的不等式．而Jensen不等式就是其中一个重要的不等式，在凸函数的研究中占据着重要地位，一般对凸函数的探究都是从Jensen不等式的角度着手的．不仅是凸函数，在一般不等式的证明等方面Jensen不等式也得到了广泛应用．因此，目前对于Jensen不等式的研究、应用、推广是非常必要的．本文利用凸函数的定义及性质和Jensen不等式的基本不等式，从以下几个方面对其研究：
第一部分：预备知识．给出凸函数的定义及性质，再给出Jensen不等式及其证明．
第二部分：Jensen不等式的应用．从例题出发来说明不等式在其他一系列不等式中的证明，并给以小结．
第三部分：Jensen不等式的推广．一般经常用的Jensen不等式是离散型的，可以推出积分型Jensen不等式．
1.预备知识
定义1.设 为定义在区间I上的函数，若对I上的任意两点 和任意实数 （0,1）总有
，
则称 为I上的凸函数．反之，如果总有
，
则称 为I上的凹函数．
凸函数的性质：
性质1：设 是定义在 上的凸函数，对任意 ，则 存在，且 ．
性质2：设 是定义在 上的凸函数，则有 .
2.Jensen不等式定义及其证明
定义2.（Jensen不等式）若 是 上的凸函数，则对任意 ， ，且 ，有 --------------------⑴
证明：应用数学归纳法.
当n=2时，由定义1可知显然成立.
设n=k时命题成立.即对任意 及 且 ，都有
当n=k+1时，设 及
令 则 由数学归纳法假设可推得
这就证明了对于任意正整数n（大于等于2），凸函数 总有不等式⑴成立．
推论1.若 ， 1,2，•••，n，则有 .
推论2.若 ，且 ，则有 .
证明：构造函数 ， .则
因为 ，所以对任意 ，都有 ，故 是凸函数，则由定义2可知 ，即