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    摘 要:符号函数是一个特殊的分段函数,本文从符号函数的定义出发,讨论了符号函数的相关性质,总结了符号函数在证明不等式、简化积分计算以及在几何画板上的应用.

    毕业论文关 键 词:符号函数,不等式证明,不定积分,定积分,几何画板64738

    Abstract : In this paper, sign function was a special piece-wise function. According to the definition of sign function, the relevant nature of sign function was discussed. Its application in proving inequality, simplified integration and geometer sketchpad were summarized.

    Keywords:sign function, inequality proof, indefinite integral, definite integral, geometer sketchpad

    目  录

    1  引言4

    2  符号函数在证明不等式中的应用4

    3  符号函数在积分计算中的应用7

    4  符号函数在几何画板上的应用 12

    结论15

    参考文献16

    致谢17

    1 引言

    符号函数(sign function,简称sgn)是一个逻辑函数,用于判断实数的正负号.其定义为:

    对 , ,

    记号 ,由拉丁文signum(符号,正负号)得来.

    符号函数 是由19世纪德国数学家克罗内克(Kronecker,Leopold)引进的,所以又称克罗内克函数.克罗内克(Kronecker,Leopold,1823-1891),1842年入柏林大学,1845年毕业,并于1849年以关于代数数域中单位的论文在此获得博士学位;1861年在柏林大学任终身教授,同年被选为柏林科学院院士;1884年被选为英国皇家学会会员,他还是彼得堡科学院院士和法国科学院院士. [1]

    符号函数是一个特殊的,具有明确特性的分段函数,易知符号函数具有如下性质[2]:论文网

    (1)任何实数都可表示为其绝对值和符号函数的积,即

     ;

    (2)符号函数有以下形式:

     ;

    (3)符号函数是绝对值函数除零外的导数,即

     , ;

        (4)在任意区间 上黎曼可积,且

     .

    符号函数在数学多分支上有着广泛的应用,它是解决许多数学问题甚至物理问题的有力工具.本文主要总结了符号函数在证明不等式,简化积分计算以及在几何画板上的应用.

    2  符号函数在证明不等式中的应用源:自~751·论`文'网·www.751com.cn/

    由符号函数的定义知,某一数学表达式 通过符号函数运算后,若 ,那么 ,若 ,那么 .因此,用符号函数证明不等式,可以将不等式的证明问题转化为符号函数的等式问题,使不等式的证明更加简洁明了.

    例1 [3] 设 ,定义 , ,

    (1)若 ,则数列 单调递增;

    (2)若 ,则数列 的子列 单调递减, 单调递增.

    证明 (1)由假设,显然有 ,于是有

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