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摘要：本文从Lebesgue积分与Riemann积分的历史背景入手，简单介绍了Lebesgue积分与Riemann积分的思想，论述了Lebesgue积分与Riemann积分的区别，最后通过几个具体的例子，验证了本文的结论。64740
毕业论文关键词：Lebesgue积分，Riemann积分，区别，联系
Abstract: In this paper, based on the background of Lebesgue Integral and Riemann Integral, we simply introduce the thinking, distinction and relation of Lebesgue Integral and Riemann Integral. Lastly, we verify of this paper by some examples.
Keywords: Lebesgue Integral, Riemann Integral, difference, relation
目 录
1 前言 4
2 Lebesgue积分和Riemann积分的区别 7
3 Lebesgue积分和Riemann积分的联系14
结论16
参考文献17
致谢18
1 前言
公元前三世纪左右,古希腊物理学家阿基米德研究的解决抛物弓形的面积、球、球冠面积、螺线下面积、旋转双曲体的体积问题,隐含着近代积分学思想.阿基米德用球体薄片的叠加和球体外切柱以及相关的圆锥薄片的叠加,并且运用杠杆原理得到球体的体积公式.我们国家三国时期的刘徽运用“出入相补”与“以盈补虚”的思想去解决球的面积和体积的问题,采用“割圆术”中指出“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”公元前五世纪,我国两位数学家祖冲之和祖暅父子俩提出积分概念的雏形,“缘幂势既同,则积不容易”,给出球体体积正确的计算公式.
十七世纪以后积分才真正的发展,物理学家牛顿的著作《流数简论》的出版标志着微积分的诞生,莱布尼茨也对积分的发展做出了巨大贡献.十八世纪,数学的发展虽然进入了分析的时代,但是面积的观念一直影响着积分的概念,一直到柯西,他摆脱了面积观念的影响,真正从分析的角度给出了积分的构造性定义,柯西从“和式极限”这个创造性的观点出发,从微分中把积分作为一个独立的个体分离出来,并且数学分析中的重积分,曲线积分,曲面积分的引入都以积分作为“和式极限”的观点为前提条件.同时,为了引入其他类型的积分,例如Lebesgue积分与Riemann积分,积分作为“和式极限”的观点也为其创造了前提条件.
下面我们来谈谈Lebesgue积分与Riemann积分的思想简介.
首先,我们来谈谈Lebesgue积分的思想简介.函数概念的发展和积分的发展密不可分,函数的连续性和积分理论一直紧密地联系在一起.早期的研究工作对积分学的发展起过推动作用,傅里叶用三角级数和来表示不连续函数,1807年傅里叶指出,任一定义在 上的函数 可表示为三角级数:
其中
但是,傅里叶的这一陈述缺乏严格的论证.1837年狄利克雷对三角级数的研究工作提出了一些条件,他尤其提到了函数的可积性.
Riemann对三角级数进行研究时,考虑到上述傅里叶和狄利克雷的研究工作,特别研究了狄利克雷提到的函数的可积性问题. Riemann在没有假设函数是连续的前提下,去研究一个函数是否可积是什么样的性态?站在这一角度,1854年Riemann的一篇论文《关于一个函数展开成三角级数的可能性》,这篇论文给出了积分的定义和函数可积性的充要条件,后来,达布用更加明确的形式给出函数可积的充要条件.
正值函数 定义在区间 上,为了使函数 在区间 上可积,如果按照Riemann的积分思想,函数 在区间 划分后的多数小区间 上的振幅可以足够小,这就使得具有较多振动的函数被排除在可积函数类外. 因为Riemann积分存在着各种局限性,数学工作者相继深入研究积分理论. Jordan、Borel等人对于点集的测度理论的深入研究，揭示了积分与测度的联系. Lebesgue完成的测度与积分系统是现代应用最广泛的. 1902年Lebesgue发表了一篇论文《积分、长度与面积》,这篇论文是古典分析向近代分析转折的标志.Lebesgue积分理论不仅蕴含了Riemann积分理论,而且在很大程度上克服了Riemann积分的局限性,之后还有许多科学家对积分理论的发展做出了重大贡献.论文网