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在求曲边梯形的面积时,Riemann积分的思想是将底边分割成若干个小底边，对区间 进行分割,用对应于小底边 上的小矩形代替小曲边梯形.因此,如果积分存在,则小底边上的振幅必须可以足够小. 虽然Lebesgue积分思想也是“分割、近似、求和、取极限”,但是Lebesgue的分割是对函数的值域,并不是对曲边梯形的底边. 正值函数 定义在区间 上,设 在区间 上的最大值M和最小值m,任意 ,作
其中 .并且作点集 .这样, 在 上的振幅就不会大于 ,再计算 其中 , .并且作和式 ,该和式是 在区间 上积分的近似值.然后,让 ,若该和式的极限存在,记为
,
则称 在区间 上是可积的,也就是Lebesgue可积. 换句话说,就是通过y轴的分划来限制函数值的变动振幅,就是按函数值的大小先加以归类.
Lebesgue把自己的积分思想和Riemann的积分思想做了生动的譬喻,假如我欠了好多债,现在要换人家钱,Lebesgue自己的积分思想是,先把钞票按面值大小进行分类,再计算每一类钞票的面值总额,然后再把每一类的总额相加;Riemann的积分思想是,从钱袋中摸出钞票,按照钞票摸出的次序依次相加.
其次,我们来谈谈Riemann积分的思想简介. Riemann在论文《关于一个函数展开成三角级数的可能性》中，把积分推广到定义在区间 上的有界函数 上，Riemann把区间 分割成子区间 ,并且定义 在子区间 上的最大值与最小值的差为 在子区间 上的振幅. 然后，Riemann证明了当 时,如果和式存在, 是 中 的任一值,和式 趋于一个唯一的极限的一个充要条件是: 的振幅大于给定的数 ,区间 的总长度必须随着各区间的长度而趋于零.Riemann认为,关于振幅,连续函数可以用具有孤立间断点的函数和具有处处稠密间断点的函数代替。其实,Riemann给出的可积函数的例子,可积函数在每个任意小区间上的无穷多个间断点,这个例子说明了Riemann积分概念的一般性,从而,Riemann去掉了积分定义中连续和分段连续的要求. 文献综述
后来,达布对于Riemann提出的积分概念,以更加明确的形式给出了函数可积的充要条件,提出达布上积分和达布下积分的概念,并且指出上下积分相等时,有界函数 可积.
设定义在区间 上的有界函数 ,作分划 ,并且令
,
上积分和下积分分别为
, .
若上积分和下积分相等,则称有界函数 在区间 上Riemann可积,并且记公共值
为 在区间 上的Riemann积分.
达布提出的 在区间 上Riemann可积的充要条件是
,其中 .
Riemann积分的重要性不言而喻,正是达布等数学工作者对Riemann积分作出的大量改进才使得Riemann积分理论变得更加精确和完善.Riemann积分对于处理诸如逐段连续的函数和一致收敛的级数来说是足够的,并且至今Riemann积分仍是微积分课程的主要内容之一.然而,随着康托关于点集理论一系列工作的开展,数学工作者发现了具有各种奇特现象的函数,对此人们在研究函数可积性和积分理论的处理上发生了困难,发现了Riemann积分的局限性,后来数学工作者们克服了Riemann积分的局限性,将Riemann积分理论推广为Lebesgue积分.此外,更具体全面的内容可以参见周明强的专著［1］,以及徐德义、范君好和郝江锋的文献［2-4］.
2 Lebesgue积分和Riemann积分的区别
由以上内容我们知道Lebesgue积分是Riemann积分的一种推广,那么Lebesgue积分和Riemann积分有什么区别呢?我们从这两种积分的定义出发,体会它们各自的特点以及Lebesgue积分相对于Riemann积分的优越性.源:自~751·论`文'网·www.751com.cn/