积分变换在偏微分方程中的应用(2)

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4.1 傅里叶变换求解热传导方程 18

4.2 傅里叶变换求解波动方程 19

4.3 傅里叶变换在求解非线性偏微分方程中的应用 20

第5章拉普拉斯变换在偏微分方程中的应用 23

5.1 拉普拉斯变换解波动信号问题 23

5.2 拉普拉斯变换在求非稳态热传导方程中的应用 24

5.3 拉普拉斯变换在一类一阶线性偏微分方程中的应用 25

5.4 两种积分变换在求解偏微分方程中的比较小结 26

总结 29

致谢 30

参考文献 31

附录1：本文所用到的拉普拉斯变换简表 32

附录2: 33

第1章绪论

1.1 研究背景及意义

傅里叶变换是分析学中的一个重要分支，在数学发展史上，虽然早在18世纪初期，有关三角级数的论述已在D.Bernoulli，D’Alembert，L.Euler等人的工作中出现，但真正重要的一步是法国数学家J.Fourier（傅里叶）迈出的，他在著作《热的解析理论》（1822年）中，系统地运用了三角级数和三角积分来处理热传导问题。此后，众多数学家，如Dirichlet，Riemann，Lipschitz以及Jordan等都曾从事于这一领域的研究，不仅弥补了Fourier工作中的不足，而且极大地发展了以Fourier命名的级数理论，扩大了傅里叶变换的应用范围，还使得这一理论成为研究周期现象（各种振动、行星运动、波动与通讯等）不可缺少的工具。现代实用性很强的“小波变换”理论和方法也是从Fourier变换的思想方法演变出来的。

Fourier变换在概念和方法上对其他数学分支发展给予了深刻的影响，数学中很多重要的思想和理论都与Fourier变换的发展密切相关。正如A.Zygmund在他的专著《三角级数》中指出：许多函数论的基本概念与结果是一些数学家在研究三角级数的过程中得到的。例如，现代正确的函数概念是由Dirichlet在研究三角函数收敛性的论文中首先提出的（1837年）；微积分教科书上所讲的Riemann积分定义是由Riemann在题为《用三角级数来表示函数》的论文中明确引进的（1854年）；1861年Weierstrass用三角级数给出了处处连续而处处不可微的函数的例子；19世纪70年代，Cantor在三角级数的唯一集合的研究中奠定了点集论的基础；到了20世纪初，Fourier分析的研究还推动了函数空间理论的发展。

傅里叶变换要求满足狄利克雷条件和在内绝对可积，但是在物理、无线电技术等十几应用中，许多以时间t为自变量的函数通常在t<0时不需要考虑或者没有意义，像这样的函数不能取傅里叶变换。为避免上述两个缺点，将函数进行适当改造，便产生了拉普拉斯变换。

傅立叶变换在生产生活中的重要性非常突出，它将原来难以处理的时域信号相对比较容易地转换成了易于分析的频域信号，可以利用一些工具对这些频域信号进行处理、加工，把信号转化为可以对其进行各种数学变化的数学公式，对其进行处理。最后还可以利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号，它是一种特殊的积分变换。它能将满足一定条件的某个函数表示成正弦基函数的线性组合或者积分。然而，它在运算上过于复杂，过于宏大的运算过程，对于一些相对简单的低功耗处理器来说，难以自如应对，因此，快速傅里叶变换则显出了它的优越性。快速傅氏变换（FFT），是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。对于计算机处理信号方面上是一大进步。系统的速度不但取决于本身的速度，而且还在相当大的程度上取决于算法，算法运算量的大小直接影响着对设备的控制质量。通过离散傅立叶变换（DFT），运用测试软件进行检测，可以看出快速傅里叶变换大大的提高了运算速度，它为各系统的设计提供了简单算法，有着十分重要的意义。