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证明 设 在 内有界，即 ,取定 由拉格朗日中值定理知,在 与 之间存在 ，
使得 ，而 ，
故 ，此与已知 无界相矛盾，故 无界.
3.3 函数的连续性问题
例3 函数 在区间 上一致连续的充要条件是： ，当 时，有 .
证明 必要性：因为 一致连续，故 当 时，有
.
在已知 时，对于 ， 自然数， , 必有 ，因而 .
充分性：设 在 上不一致连续，则有
证明 设 在 内有界，即 ,取定 由拉格朗日中值定理知,在 与 之间存在 ，
使得 ，而 ，
故 ，此与已知 无界相矛盾，故 无界.
3.3 函数的连续性问题
例3 函数 在区间 上一致连续的充要条件是： ，当 时，有 .
证明 必要性：因为 一致连续，故 当 时，有
.
在已知 时，对于 ， 自然数， , 必有 ，因而 .
充分性：设 在 上不一致连续，则有