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(1) 为 上凸函数
(2) 为 上递增函数.
定理2.3 设 为 上二阶可导函数，则 为 上凸函数的充要条件是在 上 .
关于凸函数的理论基础主要是琴生于1906年左右所奠立. 著名的琴生不等式，是很多不等式的起源.
2.3 凸函数的若干运算性质来.自/751论|文-网www.751com.cn/
(1)若 是 上的凸函数，对任意常数 0，如果 ,则 也是 上的凸函数; 如果 ,则 也是 上的凹函数
证明：由于 是 上的凸函数，根据凸函数的定义，有
，
若 ，用c乘上不等式得
，
故 是 上的凸函数.
，
故 是 上的凹函数.
(2)若 为 上的凸函数，常数 , 则 也是 上的凸函数.
证明：由于 是 上的凸函数，有
，
由于 ，两边同乘以 相加得
，
即
，
所以， 也是 上的凸函数.
(3)若 与 都是 上非负，递增（递减）的凸函数，则 也是 上的非负，递增（递减）的凸函数.
证明：由于 非负，显然 也非负，再由 的递增（递减）性，也易证 的递增（递减）性，下证 也是 上的凸函数.