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傅里叶系数计算公式[1] 设函数 是以 为周期的函数且在 上可积和绝对可积．论文网
计算 的傅里叶系数的Euler-Fourier公式为
.
如果三角级数 中的系数满足公式 和 ，则称该三角级数是函数 在 上的傅里叶级数．
2 特殊性状的函数对应傅里叶系数的性质
2.1 函数与系数具有相同的线性组合性质
若 的傅里叶系数分别为 ，则函数
的傅里叶系数为
证明 根据傅里叶系数的计算公式 和 ，可得
同理可得
2.2 奇、偶函数傅里叶系数的性质[1]
当函数 为奇函数或偶函数时， 的傅里叶系数有简单的形式：
当 为偶函数时，系数 ，且 变为
当 为奇函数时，系数 ，且 变为
2.3 函数与其各阶导函数傅里叶系数的关系
命题1[1] 设以 为周期的连续函数 在 上按段光滑（即在 上除了至多有有限个第一类间断点的 的导函数在 上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限点上导函数 的左、右极限存在）, 在 上可积且绝对可积，则 的傅里叶系数 与 的傅里叶系数 有关系文献综述
证明 因为 是 为周期的连续函数，所以 ，从而有
再由分部积分公式可得
即
同理可以证得
命题1的推广[5] 设以 为周期的连续函数 在 上按段光滑，有直到 阶 连续导函数，且 阶导函数 在 上可积且绝对可积，则 的傅里叶系数 与 的傅里叶系数 有关系：
当 为奇数时
，
当 为偶数时
，
其中 为满足 的虚数单位．
证明 因为以 为周期的连续函数 在 上有直到 阶连续导函数,则有 , ,从而 ，再由命题１知
继续下去可得
假设对于 时有
，
成立.
因为函数 有直到 阶连续导数，根据分部积分公式可得
从而
，
由数学归纳法得 时成立,所以
当 为奇数时
，
同理可以证得
当 为偶数时来~自^751论+文.网www.751com.cn/