-
0 22 22 21 20
- 上一篇：新疆中学生分析和解决数学问题能力的培养
- 下一篇：高考数学题根研究以“数列”为例
18 15 10 2 12 14 3 17 20 14
11 2 13 15 5 20 2 22 1 0
表 关于模 的最小非负剩余
因此可以得知，在斐波那契数列之中， 关于模 的最小非负剩余的周期是 ,并且
.
即
引理5 设 为正整数， .
证明：由引理 及斐波那契数的定义知， .
引理6[4] 设 为正整数，则有
（1） ;
（2） ;
（3） .
引理7[6] 设 ， 为正整数，则有
（1） ;
（2） ;
（3） .
引理8 设 为正整数，则 .
证明：由引理 以及引理 ，
.
3 主要结果
定理1 设 为正整数，则 与 的标准分解式中素因数 的指数相同.
证明 我们对 用数学归纳法.文献综述
（1)当 时，不妨设 的标准分解式中素因数 的指数为 ,即 .
由引理 , .下证 .
因为 ，从而 ，进而 .
下证 不能整除 .
由引理 ( )， .令 ，则 .进而由 且 ，
.
因为 ，所以只要证 不能整除 .又 ，从而 ，
由引理 知， ，从而 不能整除 ，即 不能整除 ，进而 不能整除 .所以 .
（2）假设命题当 时成立，即 与 的标准分解式中素因数 的指数相同.则 且 ， .
（3）下证命题对于 成立，
该证明等价于证明 .因 ，所以 ，进而 .
下证 不能整除 .
因为 ，令 ，则 .进而由 且 得
.
又由引理 知
，从而 .
因为 不能整除 ，从而 不能整除 ，进而 不能整
除 ，所以 .
综上，定理得证.
定理2 设 为不含因数 和 的正整数，则 的标准分解式中素因数 的指数为 .
证明 由引理 ， .下证 不能整除 .
设 ， ，则
.
由 语言编程结果知 ，从而 ，又 不能整除 且 不能整除 ，从而 不能整除 ，即 不能整除 ，从而 ，即 的标准分解式中素因数 的指数为 .
定理3 设 为不含因数 和 的正整数，则 的标准分解式中素因数 的指数为 .
证明 由引理 ， ，又由定理 知 ，从而 .来~自^751论+文.网www.751com.cn/
下证 不能整除 .
设 ，则
.
由编程结果知 ，从而 ，又 不能整除 ， 不能整除 ，即 不能整除 ，从而 ，即 的标准分解式中素因数 的指数为 .
定理4 设 为正整数且 ，其中 为非负整数， 为不含因数 和 的正整数，则 的标准分解式中素因数 的指数为 .
证明 对 作数学归纳法.
（1） 时， ，由定理 知命题成立.