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2 非欧几何的产生
2.1 提出问题
公元前325年，古希腊著名的数学家、哲学家欧几里得编著完成了《几何原本》. 由于《几何原本》是历史上第一部关于几何学的著作，所以无论在科学上还是教育上，它都发挥着很大的作用拥有很高的评价，但由于历史的缺陷性《几何原本》的公理系统作为几何学的逻辑推理的基础是不完备的. 为此，数学家们尝试对《几何原本》进行修改、补充，特别对欧氏几何的第五公设，因为第五公设相对与其他公设在叙述上更复杂、更冗长，外观不自然. 于是，数学家们提出了这样的疑问：能否不用它而采用一个更简洁的形式替代它、能否用其他的公理、公设去证明它.
2.2 分析问题论文网
从古希腊时代到18世纪末，数学家一直孜孜不倦的试图解决第五公设的问题. 针对2. 1中提出的问题，数学家们主要分两种途径去分析此问题：其一是寻找更简单明了的命题来代替第五公设，近2000多年数学家总结了几百多个替代公设，其中最简洁易懂的当属普莱费尔公理：过直线外的一点有并且只有一条直线与原来的直线平行；其二是尝试用欧式几何的其他公理、公设去证明推导出第五公设，在近2000多年的漫长岁月里，有无数的数学家卷入了证明平行公设的浪潮中，其中包括古希腊数学家托勒密、拜占庭数学家普罗克洛斯等等，然而所有的努力都毫无疑问的失败了，因为他们得到的只不过是平行公设的等价命题来~自^751论+文.网www.751com.cn/
下面举几个等价命题的例子：
命题1 “任意一个三角形的内角和都是 ”与第五公设等价[2].
简证如下：如图2-1
图2-1
显然，由平行公设可以推出三角形内角和是 ，设 是已知直线， 是直线外一点，下证过点 有且只有一条直线与 不相交.
存在性：设 是从点 向直线 所做的垂线，垂足为 ,过点 作直线 的垂线 ，直线 、 都是 的垂线，因此 、 是不会相交的。否则将会与三角形的外角等于不相邻内角和的结论相矛盾.