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摘 要:矩阵是数学研究中一类重要的工具之一,有着非常广泛的应用,矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.矩阵的QR分解可以利用Householder矩阵变换、Gram-Schmidet正交化、Givens矩阵变换等方法进行．本文给出了这几种重要方法及证明,并给出了具体的算法设计,以便于用计算机实现复杂高阶矩阵的QR分解．9070
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关键词: 分解；算法设计；Householder变换
QR Decomposition of Matrix and Program Design
Abstract:The matrix is a important tool in class of mathematical research, and it has a very wide range of applications, matrix decomposition plays a key role in matrix theory and development of modern computational mathematics. QR decomposition of the matrix can be used Householder matrix transformations, Gram-Schmidet orthogonalization, Givens transformation matrix method. This paper presents several important and proven method, and gives specific algorithm design, in order to implement complex high-end computer matrix QR decomposition.
Key words:QR decomposition; Algorithm design; Householder transformation
目 录
摘 要 2
引言 3
1.预备知识 4
1.1 几个定义 4
1.2 线性无关向量组的Gram-Schmidet正交化过程 6
2.矩阵QR分解的常见方法及程序设计 6
2.1 利用Householder矩阵变换 7
2.2 利用Gram-Schmidet正交化 12
2.3 利用Givens变换 17
3.小结 22
参考文献 22
致谢 23
矩阵的QR分解及程序设计引言
矩阵理论是代数中主要的内容之一,在数学的各个分支中都起着非常重要的作用,应用范围也十分广泛,是现代信息科学,工程学等众多领域所不可获缺的数学工具.随着计算机技术的快速发展,各种程序软件也层出不穷.而要做出好的程序软件,需要简易且高效的程序设计,因此对编程也就有越来越高的要求.通过矩阵分解可以大大得缩短运算时间,简化程序.
矩阵的QR分解是矩阵分解其中的一种分解形式,是特殊的三角分解,在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要的作用,而且得到他们的精确解非常重要.QR分解也是特征值算法及QR算法的基础.其理论上都是成立的,但计算一直以来是很繁琐的数学问题.特别是当矩阵的阶数较高时,计算量非常之大,因此要结合一个有效的QR分解的程序.
近年来,各专家学者在这一方面进行了非常多的研究.在矩阵计算中,矩阵的QR分解通常是用Householder变换或Gram—Schmidet正交化方法或Givens变换来实现的.在文献[5][6]中对矩阵的QR分解进行了理论证明,文献[7]给出了矩阵QR分解的几种分解方法,文献[8]初步对高阶矩阵的QR分解设计了一个计算程序.本文在文献的基础上,概括出矩阵的QR分解的三种方法,并给出了每种方法的程序设计.
1.预备知识
1.1 几个定义
定义1.1.1 如果实矩阵A满足 ,则A为正交矩阵.
定义1.1.2 主对角线以下元素都是0的矩阵称为上三角矩阵.
定义1.1.3 如果一个可逆矩阵A可化为正交矩阵（酉矩阵）Q与实上三角矩阵（复上三角矩阵）R的乘积,即A=QR,则称该分解式为矩阵A的QR分解.
定义1.1.4 设 且 ( 表示 的范数),称 为Householder矩阵,建立 的变换 ,使 , 这样的变换称为Householder变换．
Householder矩阵的性质:
（1） （对称矩阵）
（2） （正交矩阵）
（3） （对合矩阵）
（4） （自逆矩阵）
（5） 是 阶Householder矩阵