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摘要：本论文一方面归纳和总结了一些化二次型为标准形的一般方法，并给出来了两种相对来说比较容易的方法，另一方面也讨论了化二次型为标准形在数学及生活中的实际应用.并针对以上两个方面给出具体的例子加以详细说明.9962
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关键词：二次型；标准形；方法；应用
The Methods of Changing the Quadric Form to Standard Form and its Application
Abstract: On the one hand ,this article summarizes the general methods of changing the quadric form to standard form ,and puts forward two simple methods,on the other hand ,it also talks about the practical application of the methods of changing the quadric form to standard form in mathematics and life .And concrete examples are given for the above two aspects.
Keywords:quadric form ; standard form;method;application
目录
摘要 1
引言 2
1．化二次型为标准形的方法3
1.1配方法3
1.2合同变换法 6
1.3正交变换法 8
1.4正交线性替换法 10
1.5偏导数法 12
1.6顺序主子式法14
2.化二次型为标准形的应用15
结束语19
参考文献20
致谢21
化二次型为标准形的方法及其应用引言
高等代数理论具有丰富的内涵，有着悠久的历史，随着科学技术的发展，特别是计算机的广泛应用，作为重要的数学分支之一，它已经被应用到多个领域，如社会科学，自然科学，经济、管理、工程学等.高等代数理论包括多项式、行列式、矩阵、二次型、线性空间、线性变换等多个分支.其中二次型又和高等代数的各个分支都有着重要的联系，因此二次型在高等代数中有着不可估量的地位。作为高等代数的重要内容之一，它起源于几何学中的二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形的研究.后来二次型理论又有了更进一步的发展，它不仅在线性代数学中有这普遍的应用，在物理学、几何学、概率学，都得到了广泛的应用.标准形是一种简单的二次型，任何一个二次型都可以通过线性变换化为标准形，它们的性质是不变的，而标准形相对于一般的二次型而言，它的性质则更容易研究,因此化二次型为标准形对于二次型理论的研究有着十分重要的意义.
所以很多文献都对化二次型为标准形的方法及其应用讨论过.文献[1]和[4]主要对二次型的一些基本性质进行了讨论，并在此基础上讨论了用配方法将普通二次型化为标准形；文献[5]主要介绍了一种化二次型为标准形的特殊方法；文献[8]主要讨论了利用初等变换的方法将一般的二次型化为标准形；文献[10]主要归纳了几种把二次型化为标准形的一般方法；文献[11]主要介绍了化二次型为标准形在数学各个分支的中的应用.
在本文中，基于上述文献，归纳总结了一些把一般二次型化为比较简单的标准形的方法，接着又介绍了正交变换化二次型为标准形在分析二次曲线性质的过程中的应用，并针对不同的方法及应用给出相应的例题加以证明.
1.化二次型为标准形的方法
已知在二次型中最简单的形式是只含平方项的二次型
称为二次型的标准形.
对于二次型 ,我们所要讨论的关键问题是找到一个可逆线性变换X=PY，把二次型化为标准形
.把变换X=PY代入 中得 ,
而标准形
其中 因此将二次型为标准形的核心是寻找矩阵P，使它是可逆变换的同时，也使得 为对角矩阵.下面介绍几种化二次型为标准形的方法并给出相应的例子.