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摘要：域是许多数学分支的研究基础。而又限扩域则在近代编码、正交实验设计和计算机理论都有重要应用.通过扩域来研究域具有重要意义.所以本文在前人的基础上对扩域中的元素、最小多项式、代数扩域的性质进行探讨．10303
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关键字：扩域的元素 最小多项式 代数扩域 次数
Properties and Applicationsto expandthe domain
Abstract: Theresearchfield isthe basis of manybranches of mathematics. Butlimittheextension fieldbyexpandingthe domainof great significanceto study thefieldin moderncoding, orthogonal experimental designand computertheoryhas important applications. So thiselementof theexpansion ofthe domainonthe basis of previous, minimal polynomial, algebraicexfieldnatureto explore.
Keywords: Elements minimal polynomialalgebraicextension fieldextension fieldfrequency
目 录
摘 要 1
引言 2
1．预备知识 3
1.1 扩域的定义 3
1.2 最小多项式的定义及简单性质 3
1.3 代数扩域及超越扩域的定义 3
2．扩域的元素及其性质 3
3. 最小多项式的简单性质.7
4.代数扩域及有限扩域的次数8
5.扩域的应用.10
6．结束语 17
参考文献 19
致谢 20
扩域的性质及应用引言
早在19世纪初，迦罗瓦在研究代数方程的著作里就出现了域的概念的萌芽.后来戴德金（J.W.Dedekind）和克罗内克（L.Kronecker）在不同背景下也提出了域的概念.系统研究域的理论始于韦伯（H.Weber）,而域的公理系统是迪克森（L.E.Dickson）和亨廷顿（E.V.Huntington）分别于1903年和1905年独立创立的。在韦伯等人的影响下，施泰尼茨（E.Steinitz）对抽象域进行系统研究，于1910年发表论文《域的代数理论》，对域论本身以及相关学科的发展产生重大影响.
域是许多数学分支（如代数、代数理论、代数几何等）研究的基础。有限域则在近代编码、正交试验设计、和计算机理论中都有重要作用。
而扩是研究域的基本方法。通过本文章使读者更好的了解扩域.对扩域中元素的形式及一些扩域中应包含的元素.最小多项式，代数扩域的次数的性质进行探讨和总结。最后推广到应用.同时在文献资料搜集、英文文献翻译、归纳整理、创新等能力方面都能得到锻炼和提高。
1．预备知识
1.1扩域的定义：若域G是域F的一个子域，则域F是域G的一个扩域.
1.2代数元、超越元：若域F是域G的一个扩域，a∈F如果存在G上的 非零多项式f(x)使f(a)=0.则称a为G上的一个代数元.否则a为G上的超越元.
最小多项式：设a是域G的一个代数元，则G上首项系数为1且有
根a、次数最低的多项式是存在的，则称为a在G上的最小多项式.
1.3代数扩域、超越扩域：设F是域G的一个扩域。如果域F中的每个
元素都是域G上的代数元，则称F是G上的一个代数扩域；否则，
称F是G的一个超越扩域.
2．扩域的元素及其性质
设G是任意给定的一个域，F是G的一个扩域。H是F的一个非空子集.用G(H)表示F中包含G∪H的一切字域的交.所以它是F中包含G及H的最小子域我们称其为添加子集H于G所得到的域.G(H)是F的子域，但它是G的扩域.
在H中任取有限个元素 ，令f( )为系数属于F的关于 的任意一个多项式，它是G(H)中一个确定的元素。由于G（H）是一个域。因此G(H)中包含这样两个多项式的商 其中 ≠0.另一方面，如果让 在H中任意变动，n也不固定，那么一切这样的有理分式显然做成一个包含G∪H的子域。因此G(H)= .