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我们假设在一个三文空间中，设 个校准信号 产生于不同的且未知的信号源 ,于此同时，信号被位于未知方位 的 个麦克风接收。来自 声源在 麦克风的响应可以写为
（2.1）
其中 表示声脉冲响应（AIR）, 是加性测量噪声，*表示卷积。每个麦克风都有一个未知的增益， 。
本文的目的有两点：（1）从观测到的信号 中准确的获得校正信号与麦克风之间的TOA；（2）使用已有的TOA计算相关麦克风的位置 。
2.1.2 TOA的数学模型
精确的TOA测量是分布式自动定位系统的基础。TOA的测量是从观察到的信号 中获得。 声源在 麦克风的TOA表示为
（2.2）
式子中， 表示声速， 表示欧几里得范数， 是测量噪声， 表示第 个麦克风的内部延时， 表示第 个声源信号的发射时间。
对于定位问题，准确TOA的获取是关键，即 。因此，声源的发射时间和麦克风的内部延时必须得到补偿，同时测量误差必须降到最小。因此，本文采用一个运动声源来产生校准信号实现定位目的。
2.1.3 校准信号模型
本文采用特殊的激励信号 来实现TOA的准确测量，有三种可用的信号：（1）单位脉冲信号；（2）时间展宽脉冲（TSP）；（3）高斯调制正弦信号（GMSP）———最大限度同时局限在时间和频率的一种脉冲。使用这些信号的优势在于，可以集中在麦克风性能良好的光谱区域。
2.2 定位与校准原理
2.2.1校准信号设定及TOA的提取
本文假设一个小的音频播放便携式装置，如移动电话，可用于发射相应的校准信号，麦克风处在所有时间点的音频源的视线内。一个校准信号序列是由间隔 音频源产生，同时移动装置（例如，通过移动手机），之后信号由麦克风捕获并响应。如果单个校准信号序列的持续时间相比于声源的移动速率小的话，这样每个校准信号 可以看成是在不同的声源位置 ，发射时间 。用 代替在（2.2）式中的 ，可以发现通过减去 可以修正发射时间。进一步在声源起始第一个发射时间假设为 的话，可以得到简化的TOA的相对准确的表达
（2.3）
从上面描述可以总结得到，使用一种校准信号对于精确定位有三点优势：（1）可以消除未知声源的发射时间；（2）可以在短时间内产生许多声学信号；（3）可以人为的选择激励信号 来达到精确测量到达时间TOA，如上文中的单位脉冲，时间展宽脉冲(TSP)，高斯调制正弦信号（GMSP）。
TOA必须从观察到的信号 来测量，我们使用峰值测量TOA。如下,使用匹配滤波器 ，处理接收到的信号 （除了有单位脉冲 ），其中匹配滤波器是激励信号的时间反转， 。通过匹配滤波器后可以提取TOA， 。具体过程为：首先，输入信号 是在时间间隔 s非重叠的帧中处理，并且在每帧中会产生与激励信号自相关的峰值，而其他的干扰会被抑制；观察这些峰值可以得到TOA。在激励信号是TSP的情况下，匹配滤波器是等价与序列的逆滤波器并且它会产生一个脉冲（leaving the AIR）。对于GMSP，它的结果是在两个信号之间的产生最大相关峰值。一般的匹配滤波能有效抑制不相关的加性噪声；随着采样频率和滤波器的增加，噪声抑制量会增加。
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