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2.1.2 热传导方程
热传导过程总是一个温度随着点的位置变化以及时间的变化而变化的过程，热传导问题可通过推导导热体在传热过程中温度变化的微分方程来解决。所以，可通过利用微元法的原理在物体表面中任取一个闭曲面S，设其所包围的区域为V，再设在区域V内的点 处的某一t时刻的温度为 ，向量n是曲面单元dS的法向量(由内指向外)。根据传热学的傅里叶定律可知，物体在极其微小的时间段dt中，通过一个极其微小面积的dS的热量dQ与时间段dt，面积dS和物体温度T1沿曲面dS的法线方向的方向导数 三者成正比，即[22]:
式(2.1)
其中 称为物体的热传导系数，且k在导热体为均匀、各向同性的物体时为常数。在温度梯度的正向与热量的流向相反时k取负号。
通过上式，从时刻t1到时刻t2，经过曲面S流进区域V的所有热量为
式(2.2)
流进的热量使得区域V内的温度发生变化，在时间间隔 中V内各点的温度从 变化到 ，因此在 时间中区域V内温度升高所需要的热量为
式(2.3)
其中c为物体的比热， 为物体的密度，在各向同性的物体中，两者都是常数。
根据热量守恒，流进的热量应该与物体温度升高所需要吸收的热量相等[23]，即
式(2.4)
上式左边的曲面积分中S是闭曲面，设函数T1对于x,y,z有二阶连续偏导数，对时间t有一
阶连续偏导数，并且通过Gauss公式将其转化为三重积分，即
式(2.5)
此外，右边的积分可改为
式(2.6)
所以存在下式：
式(2.7)
因为时间间隔 和区域V都是随意取值，而且被积函数是连续的，因此上式恒等的前提是被积函数恒等