2.3.2 热传导的有限元法分析
当脉冲激光辐射的能量低于样品的熔融阈值时,其能量的一部分被样品反射,一部分被样品浅表层吸收。由于样品吸收激光能量产生局部热弹性膨胀。从而产生瞬态位移场位移满足方程:
(2.3.1)
且满足边界条件: (2.3.2)
及初始条件 : (2.3.3)
热传导的有限元形式:
式中: 为热容量矩阵, 为热传导矩阵, 为热源矢量, 为热源矢量 是温度, 是温度随时间的变化率。对波的传播,忽略阻尼,有限元控制方程可表示为:
(2.3.5)
[M]是质量矩阵,[K]是刚度矩阵,{U}是位移矢量, 是加速度矢量 是外力矢量。对热弹性体而言,在柱坐标系中外力矢量表示为 , 是热应变矢量, 是形函数导数的转置矩阵, 材料特性矩阵。为了求解方程(2.3.3)和(2.3.4),利用Newmark时间积分法,注意到方程(2.3.3)和(2.3.4)是建立在时刻为t的一个平衡方程,要得到位移的时间历史曲线,必须要将方程(2.3.3)和(2.3.4)对时间进行积分。假设时间步长为 ,根据(2.3.4)和(2.3.5),位移和它的一次倒数可分别表示为:
和 是决定积分稳定性和精度的参数。把(2.3.6)代入平衡方程(2.3.5)可以得到下列代数方程组:
式中各参数可表示为: (2.3.8)
这样,通过不断积分可以产生整个时间历史曲线。
2.3.3 计算模型及理论
人牙牙冠部分的构成主要由珐琅质、象牙质和牙髓组成,牙冠的最外层就是主要由钙质和磷组成的人体中最坚硬的组织—珐琅质。珐琅质层的厚度并不是均匀的,牙颈部的珐琅质薄;象牙质被包裹在珐琅质下,其内部含有许多象牙质管;牙髓是由神经、血管和淋巴管组成。不同的牙齿形状各异,门牙的轮廓最为平坦,并且由于牙冠尺寸较小,激光超声波的激发和探测距离也小,一般在5mm以内,因此,可以不考虑牙齿的外貌特征即牙齿的弧度对声波传播的影响。对于门牙,可以看成是由珐琅质、象牙质和牙髓组成的均匀的层状结构,如图1所示,由于牙髓本身的构造特点,牙髓层可认为是空的。激光辐照在牙齿表面的示意图如图1所示,典型的珐琅质和象牙质的厚度均约为1mm。
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