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2.2 基于四元数算法的姿态捕捉方法
捷联式惯性导航是一种自主式的导航方法。该方法将惯性传感器直接安装在载体上,利用计算机来完成平台惯性导航中的惯性平台功能的惯性导航系统[ ]。由于其结构简单、便于安装文护且抗干扰能力强,目前已成为航空航天、航海、智能交通等领域的研究热点之一。
姿态解算是捷联式惯性导航系统的关键技术之一。用陀螺仪测量的载体角速度解算姿态矩阵，从姿态阵的元素中提取载体的姿态和航向信息。目前描述动坐标相对参考坐标系方位关系的方法主要有三种,即欧拉角法、四元数法和方向余弦法。欧拉角法由于不能用于全姿态飞行运动载体上而难以广泛用于工程实践,且实时计算困难。方向余弦法避免了欧拉法的“奇点”现象,但方程的计算量大,工作效率低。四元数理论是数学中的一个古老的分支，1943年哈密顿将其用于研究空间几何，随着飞行运载体导航控制系统的迅速发展和数字计算机在运动控制中的应用,控制系统要求导航计算环节能更加合理地描述载体的空间运动, 该理论在空间技术和捷联惯性导航系统中得到了实际的应用四元数法的研究得到了广泛重视[ ]。
近20年来，微机电（MEMS）惯性仪表及其系统技术取得高速发展，传感器和计算机都逐渐趋于微型化。因此，基于四元数法的捷联惯导航系统的姿态解算方法也逐渐应用于人体姿态解算中。由MEMS陀螺仪和加速度计组成的捷联式微型姿态确定系统具有体积小、自主性、实时性、抗干扰能力强等特点,但其精度主要取决于惯性器件的精度,惯性器件的测量精度单从硬件结构设计和工艺方面来说很难有大幅度的提高,并且系统误差随时间积累,不适用于长时间载体姿态解算的应用。
2.2.1 四元数的基本概念
四元数可以描述一个坐标系或一个矢量相对某一个坐标系的旋转,四元数的标量部分表示了转角的一半余弦值,而其矢量部分则表示瞬时转轴的方向、瞬时转动轴与参考坐标系轴间的方向余弦值。因此,一个四元数既表示了转轴的方向,又表示了转角的大小,往往称其为转动四元数[ ]。
四元数法是一种间接处理的人体运动姿态解算系统姿态矩阵解算方法，用四元数的微分方程解算来代替方向余弦矩阵微分方程的解算，求解得到中间变量四元数，然后再转换为载体坐标系与地理坐标系的方向余弦矩阵 。本方法的优点是可大大减小计算量，具有更好的计算性能。
1.四元数的定义
四元数是一个由1个实数单位和3个虚数单位i,j,k构成的含有4个元的数，其复数定义[ ]形式为
（2-1）
式中i,j,k满足
（2-2）
式中“ ”符号为四元数相乘的乘法符号[8]，下文相同。
矢量式形式
（2-3）
三角式形式
（2-4）
矩阵式形式
T （2-5）
定义规范化的四元数为
（2-6）
对于非规范化的四元数，其每个元素可用式
（2-7）