夫琅和费衍射的计算及MATLAB模拟(3)

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下面我们来推导惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式。设为单色点光源，它向空间发出球面波。考察光源对空间任意一点的作用，即点的光振动如何传播到点。设为和之间的一个波面。那么对的作用就等价于波面上各点发出的子波在点的相干叠加。设为波面上的任意一点，则单色点光源在点产生的复振幅为

（3）

式中，是离点光源单位距离处的振幅，是波面的半径。

设为点处的波面元。根据菲涅耳的假设，面元发出的子波在点产生的复振幅与入射波在面元上的复振幅、面元大小和倾斜因子成正比。表示子波的振幅随面元法线与的夹角的变化，其中称为衍射角。所以面元在点产生的复振幅可以表示为

（4）

式中，为一常数，。菲涅耳还假设，当时，倾斜因子有最大值，而随着的增大，不断减小，当时，。因此，在波面上，不是所有面元发出的子波都对点的复振幅有贡献。换句话说，就是只有波面上满足倾斜因子的那部分波面对点的复振幅有贡献。设这部分波面为，则波面上所有面元发出的子波在点产生的复振幅的总和为

（5）

这就是惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式。利用它理论上可以计算光通过任何形状的孔径或屏障后的复振幅分布。例如，和前面一样，依次在空间中放置单色点光源、中间开有任意形状孔径的衍射屏和一块足够大的接收屏。要计算单色点光源发出的球面波透过衍射屏后在接收屏上的光场分布，只需对波面进行积分就可以了。因为只有在孔径范围内的波面对点起作用，其余部分的波面受到衍射屏的阻挡对点不发生作用。点的复振幅是波面上各点发出的子波在其相干叠加的结果。由此可见，衍射问题和干涉问题没有本质的区别，只是在干涉问题中一般讨论的是两束或多束光的干涉，而在衍射问题中讨论的是波面上无数个子波源发出的子波的干涉。

我们已经得到了惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式，并且知道利用它可以计算衍射问题。然而，必须指出的是，表达式中的积分只有在少数简单情形下才能够精确求解，在一般情况下计算起来非常困难。此外，表达式中的积分面不仅可以选取波面，更一般地也可以选取和之间的任何一个平面或曲面。设所选取的平面或曲面上各点的复振幅分布为，则这一平面或曲面上各点发出的子波在点产生的复振幅可以表示为

（6）

此式可以看成惠更斯-菲涅耳原理的推广。

3 菲涅耳-基尔霍夫衍射公式

利用公式（6）可以计算一些简单形状孔径的衍射问题，且计算所得的衍射光场分布与实际结果符合得很好。然而，菲涅耳理论本身缺乏严格性。例如，在惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式中，倾斜因子的假设十分牵强，缺乏充分的理论依据。倾斜因子的假设固然正确，但却不清楚其具体形式。再者，公式中的常数也没能够确定下来。为了弥补菲涅耳理论的不足，德国物理学家基尔霍夫从波动方程出发，利用格林定理和电磁场的边值条件，给出了惠更斯-菲涅尔原理较为完善的数学表达式，从理论上严格确定了倾斜因子和常数。利用基尔霍夫理论可以解决工程光学中遇到的许多衍射问题。不过，该理论只适用于标量波的衍射，故又称标量衍射理论。基尔霍夫衍射理论的证明比较复杂，这里不再赘述。总之，经过数学推导，最后可以得出菲涅耳-基尔霍夫衍射公式。它是基尔霍夫理论的核心，其具体形式如下：