Timoshenko梁三维空间梁结构在冲击载荷作用下的传递响应(2)

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尽管有大量的文献对冲击载荷作用的响应问题做出了实验研究或理论探索，但对于此类问题的研究还远未完善。本文所述的研究采用了另一种研究方法：回传波射矩阵法。近年来，Pao、Howard和他们的合作者[8]提出了一种求解桁架或框架在冲击载荷作用下动态响应的新方法：回传波射矩阵法。该方法基于弹性波理论导出了桁架和框架结构求瞬态响应的一种新的频域矩阵分析法。他以杆件端点处离开波和到达波的幅值为基本的未知量，通过各节点位移协调条件和力的平衡条件形成散射矩阵，然后组装成总体矩阵后在频域中求解，得到基本未知量，然后将到达某点处不同频率波形进行叠加，求得该点处应变、位移等瞬态响应，最后利用快速傅立叶变换得到在时间域内的解。

1.3 回传波射矩阵法概述

回传波射矩阵的概念最早于1998年由Y.H.Pao[9]等提出，用于平面框架、桁架结构的动力响应分析，并用模型实验对此方法进行了验证。此方法主要是将结构杆件中的弹性波分为入射波和出射波，先计算在频域内的响应，然后通过傅立叶逆变换得到时域内的响应。具体来说，他们是依据沿结构构件传播并在节点处散射的轴向应力波来研究平面桁架的动力响应。运用提出的波传法，由节点的动力方程和协调方程可以求得各节点处轴向波的反射和传播的散射系数。结构中复杂的多重反射是在频域中通过回传矩阵法来计算的。这个矩阵是散射系数及波传播的相位因数推导得出的，最后应用傅立叶逆变化可以求得结构的瞬态响应。通过理论结果与实际数据的比较，发现轴向波理论仅在响应的初始时刻是有效的。由此得到启发，若改进散射系数，使得节点处的波形由轴向波转变成弯曲波，可能就会获得理想的结果。在此基础上，Pao和Keh[10]进一步用波传法来研究平面框架结构的瞬态响应。该方法的思路就是采用傅立叶变换，在频域中对每个结构单元进行波传播分析，然后利用节点的连续性条件将各个单元的波联系起来，从而得到结构的响应。该方法的关键之处在于结合射线展开技术，将级数展开，根据射线追踪进行截断来求得结构中瞬态波的动力响应结果。论文网

此方法的基本思想是：将梁的动力学方程变换到频率域中，以每个节点处的入射波振幅和出射波振幅为基本未知量，将结构的待求量，例如位移，速度，应力应变等，用波矢量表示出来，再由节点处的平衡及相容条件建立基本方程。

此方法的基本求解过程是：首先，建立一个整体坐标系和沿着每根杆件方向建立局部坐标系，视结构中的每根杆件为一个单元。对同一根杆件，选取不同的起点，则对应不同的单元和局部坐标系。如以J、K为端点的杆件，JK与KJ是两个不同的单元。齐次，在局部坐标系下，建立各单元的波动方程，并应用傅立叶变换，将其转换为频域波动方程，再根据波传播的方向将其分为入射波和出射波两种形式，并以其波幅作为基本未知量；在整体坐标系下，建立节点的力平衡方程和位移协调方程，每个单元的内力表达式由本构关系可求的。用入射波波幅向量表示出射波波幅向量得到每个节点的散射矩阵，再按照节点编号次序集合左右节点的散射矩阵，即可得到结构的整体散射矩阵。

又因为上一节点处的出射波在到达相邻的下一节点时，即为下一节点的入射波，两种波的相位差由出射波通过此两节点对应的单元所需的时间可确定，由此可建立同一单元上入射波向量与出射波向量之间的相位矩阵。同理，按节点编号次序集合所有单元的相位矩阵，即得结构的整体相位矩阵。故由整体散射矩阵和相位矩阵可推出出射波向量与波源向量之间的关系，即得回传波射矩阵法的频域特征方程[11]。