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拓扑优化（topology optimization），是指一种根据给定的负载情况、约束条件和性能指标， 在给定的区域内对材料分布进行优化的数学方法。拓扑优化的研究领域主要分为连续体拓扑 优化和离散结构拓扑优化。不论哪个领域，都要依赖于有限元方法。连续体拓扑优化是把优化空间的材料离散成有限个单元（壳单元或者体单元），离散结构拓扑优化是在设计空间内建 立一个由有限个梁单元组成的基结构，然后根据算法确定设计空间内单元的去留，保留下来 的单元即构成最终的拓扑方案，从而实现拓扑优化，如图 1.4 所示。
图 1.4 拓扑优化减重设计流程
Michell 桁架理论是拓扑优化设计理论研究的一个里程碑，通过研究应力约束、载荷作用 下的结构，得到了最优桁架缩影满足的条件。然而该理论只能适用于单工况并依赖于选择适 当的应变场，难以直接用于实际工程应用。1964 年，Dorn、Gomory、Greenberg 等人从基结 构的模型出发，应用数学优化方法，按照某种规则或约束删除冗余结构，得到优化后的拓扑 结构。70137
Michell 桁架理论经过多年的发展，已经建立了多工况以及应力和位移组合约束情况下的 的优化准则。Hemp 研究了 Michell 桁架的求解方法并给出了一些重要解答[12]。Dobbs 和 Fetton 使用最速下降法求解多工况应力约束下桁架结构的拓扑优化[13]。 Shen 和 Schmidt 采 用分枝定界法求解在应力和位移两类约束下桁架结构在多工况作用下的最优拓扑。王光远等 提出了结构拓扑优化的两相法[14]。Rozvany 研究了在一个集中力的作用下，用一个直线支撑 边界或两个相交支撑边界，以及四边形设计域时四边全部支撑等情况下的 Michell 桁架的解[15]。 周克民等提出了采用有限元方法建立 Michell 桁架的方法。
除此之外，变密度方法也是一种常用的拓扑结构优化设计方法，变密度法以连续变量的 密度函数形式显式地表达单元相对密度与材料弹性模量之间的对应关系，这种方法基于各向 同性材料，不需要引入微结构和附加的均匀化过程，它以每个单元的相对密度作为设计变量， 人为假定相对密度和材料弹性模量之间的某种对应关系，程序实现简单，计算效率高[16]。变 密度法在多工况应力约束下平面体结构、三维连续体结构、结构碰撞、汽车车架设计等问题 上得到成功应用。代表性的工作有 Mlejnek 建立的变密度模型；张东旭对平面弹性体问题的 研究；YangRenjie 对于车身拓扑优化的应用等。论文网
DaimlerChrysler 巴西公司的工程师运用优化技术改进了客车的底盘车架结构。在不超 过该车最大载荷的条件下、满足相关性能的前提下，实现了车体零部件的减重，得以承载更 多的乘客和行李。Magna 的工程师综合运用形状优化、拓扑优化和疲劳分析手段，对悬架部 件进行改进。Ford 公司的工程师运用尺寸优化分析拖曳臂在车身侧安装支架的厚度，以期解 决该结构的疲劳问题。此外，还有相关企业及研究人员使用尺寸优化和形貌优化技术，对卡 车减震器支架、后悬架副车架进行了拓扑优化，实现了减重需求（如图 1.5 所示）。
(a)后副车架初始设计域 (b)基于应力约束的拓扑优化密度分布构型图
图 1.5 后副车架拓扑优化设计
2014 年，瑞士苏黎世 RUAG Space 公司利用拓扑优化方法设计了卫星天线支架，充分利 用增材制造技术所提供的设计自由度，打造出比原始设计更坚固且更轻便的铝制部件（如图 1.6 所示）。