函数的基本性质有很多，奇偶性则是函数基本性质之一，奇偶性顾名思义就是把函数分为奇函数与偶函数，这个性质我们也会称之为函数的整体性质。

定义：若对于函数f（x）的定义域内存在x都有f（-x）=-f（x），则称f（x）为奇函数；如果对于函数f（x）定义域内的任意x存在f（-x）=f（x），则f（x）为偶函数。如果函数f（x）没有具备以上所述两条性质，则f（x）是奇函数，又是偶函数。

例1：已知函数f（x）满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）·f（y）（x∈R，y∈R），且f（0）≠0，证明f（x）是偶函数。

证明：令x=y=0，

有f（0）+f（0）=2f（0）·f（0），又f（0）≠0，

∴可证f（0）=1，令x=0，

∴f（y）+f（-y）=2f（0）·f（y）⟹f（-y）=f（y），

故f（x）为偶函数。

注：（1）函数图像如果是关于原点成中心对称图形的话我们称此类函数为奇函数；如果函数图像是轴对称并且以y轴为对称轴的，我们称此类函数为偶函数。

   （2）若f（x），g（x）的定义域为X1、X2，则在它们的公共定义域上，奇函数+奇函数=奇函数，奇函数·奇函数=偶函数，偶函数+偶函数=偶函数，偶函数·偶函数=偶函数，奇函数·偶函数=奇函数。

2.2.2单调性

在定义域内的某个区间上的性质有很多，如函数单调性就是其中之一，它是属于函数的局部性质；

定义：函数f（x）的定义域为l，对于定义域内任意两个自变量x1、x2，当x1<x2时，有f（x1）<f（x2）或f（x1）>f（x2）,则称f（x）在定义域内是增函数或是减函数；

例2：f（x）是定义在(-∞，-5]∪[5,∞)上的奇函数，且f（x）在[5，+∞]上单调递减，证明f（x）在（-∞，-5]上的单调性。

证明：任取x1<x2≤-5，则-x1>-x2≥-5

∵f（x）在[5，+∞]上单调递减，∴f（-x1）<f（x2）⟹ f（x1）<-f（x2）⟹ f（x1）< f（x2）也就理所应当的为单调减函数。

注意：（1）如果想要确定函数y=f（x）是否具有严格的单调性，我们可以先判断它是否在某一定义域内是增函数或是减函数，若是的话就称这是函数y=f（x）的单调增区间或单调减区间，也可简称为单调区间。

（2）复合函数y=f[g（x）]，u=g（x），其中D是y定义域的某个区间，A是映射g：x→u=g(x)

若u在D上是增函数，y在A上也是增函数，则函数f[g（x）]在D上是增函数；

若u在D上是减函数，y在A上也是减函数，则函数f[g（x）]在D上是减函数；

奇函数在其对称区间上单调性相同；偶函数在其对称区间上单调性相反。

2.2.3周期性

若函数f（x）对于定义域内任意的x，存在一个常数T且不等于0，使得f（x+T）=f（x）恒成立，则函数f（x）是周期函数，则我们称函数的周期为T。

则有两点注意：

（1）如果函数f（x）的周期是T，那么KT（K∈N+）也是f（x）函数的一个周期。

（2）如果函数f（x）的周期是T，那么f（αx）（α≠0）也是f（x）函数的一个周期。

例3：已知函数y=sinπx/3在区间[0，t]上至少取得2次最大值，则正整数t的最小值是多少？

由三角函数的性质推出三角函数的最小正周期为6

5T/4≤t进而求得t的范围，进而求得t的最小值．

解：函数y=sin的周期T=6，