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机械领域形成的笛卡尔方法是一种绝对坐标方法，即 Chace 和Haug 提出的方法，以系统中每一个物体为单元，建立固结在刚体上的坐标系，刚体的位置相对于一个公共参考基进行定义，其位置坐标（也可称为广义坐标）统一为刚体坐标系基点的笛卡尔坐标与坐标系的方位坐标，方位坐标可以选用欧拉角或欧拉参数。单个物体位置坐标在二文系统中为3个，三文系统中为6个（如果采用欧拉参数为 7 个）。对于由 N 个刚体组成的系统，位置坐标阵 中的坐标个数为 3N（二文）或 6N（或 7N）（三文），由于铰约束的存在，这些位置坐标不独立。系统动力学模型的一般形式可表示为
式中, 为位置坐标阵 的约束方程； 为约束方程的雅可比矩阵； 为拉格朗日乘子。这类数学模型就是微分-代数方程组（DAE-Differential Algebraic Equations），也称为欧拉-拉格朗日方程组（Euler-Lagrange Equations），其方程个数较多，但系数矩阵呈稀疏状，适宜于计算机自动建立统一的模型进行处理。笛卡尔方法对于多刚体系统的处理不区分开环与闭环（即树系统与非树系统），统一处理。目前国际上最著名的两个动力学分析商业软件 ADAMS 和 DADS 都是采用这种建模方法。
完全笛卡尔坐标方法，由 Garcia 和 Bayo 于 1994 年提出，是另一种形式的绝对坐标方法。这种方法的特点是避免使用一般笛卡尔方法中的欧拉角或欧拉参数，而是利用与刚体固结的若干参考点和参考矢量的笛卡尔坐标描述刚体的空间位置与姿态。参考点选择在铰的中心，参考矢量沿铰的转轴或滑移轴，通常可由多个刚体共享而使未知变量减少。完全笛卡尔坐标所形成的动力学方程与一般笛卡尔方法本质相同，只是其雅可比矩阵为坐标线性函数，便于计算。
多刚体系统拉格朗日方法产生的形如式 的动力学数学模型，是形式复杂的二阶常微分方程组（ODE），系数矩阵包含描述系统拓扑的信息。对于该类问题的求解，通常采用符号-数值相结合的方法或者全数值的方法。符号-数值方法是先采用基于计算代数的符号计算方法，进行符号推导，得到多刚体系统拉格朗日模型系数矩阵简化的数学模型，再用数值方法求解 ODE 问题。鉴于计算机技术的发展，目前全数值方法也较为流行，就是将多刚体系统拉格朗日数学模型当作一般 ODE 问题进行求解，这方面的技术已经较为成熟。
多刚体系统笛卡尔方法产生的形如式 的动力学数学模型，是著名的微分-代数方程组（DAE）。DAE 问题是计算多体系统动力学领域的热点问题。综上所述，多体系统动力学问题的求解集中于微分-代数方程组的求解，更具体的求解方法介绍，参考文献[5]。
4.3 机械系统动力学建模
机械系统动力学是研究机械系统在力作用下的运动和机械在运动中产生的力的科学。动力学和运动学一样，研究的是分析与综合两方面的问题。分析，就是进行现有机械的研究；综合，是设计机械使之达到给定的运动学、动力学要求。分析是综合的基础。机械系统动力学的分析过程，按其任务之不同，可分为两类问题[27]:
(1)动力学正问题(Forward Dynamics):给定机器的输入转矩和工作阻力，求解机器的实际运动规律(即已知力求运动)。
(2)动力学反问题 (Inverse Dynamics):己知机构的运动状态和工作阻力，求解输入转矩和各运动副反力及其变化规律(即己知运动求力)。
机械系统动力学的研究需要建立在简洁、可靠的模型基础上。由于实际问题的复杂性，机械系统的模型往往要由理论与实验相结合来确定。分析和研究工程中的一个实际机械系统，一般都先要建立一个描述该系统输入与输出之间定量关系的数学表达式，简称数学模型。这种定量关系的模型，实质上是由该机械系统本身的固有特性(惯性、弹性、阻尼特性等因素)决定的。因此，系统的数学模型也可以说成是描述系统特性的表达式。若我们对系统的内部结构、尺寸、材料的性能参数(如质量、刚度、阻尼等)以及联结条件和边界约束条件均有详尽而又足够的了解，则可利用近代结构动力学或其它力学的理论和方法，按照系统结构的设计图，来建立系统的数学模型，这就是“动力学理论建模”。
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