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解析函数的边值问题也是复变函数论中极为重要的分支之一，由于许多力学的，物理学的，工程技术中的实际问题往往可化为这类问题或者化为奇异积分方程，而后者又与这类问题有着紧密的联系，所以它有着广泛的应用。以穆斯海里什文里为首的前苏联学派，在这方面做出了许多杰出的工作。在中国，从20世纪50年代起有很多学者参加这项工作，如数学弹性学，广义解析函数及其在微分方程中的应用等[14]。
共形映射是解析函数的几何理论，边值问题是与许多实际问题密切相关的复变理论，共形映射与边值问题之间在理论上存在着一定联系。其中有一般有限连通区域共形映射到各类标准区域的存在唯一性定理，讨论单叶解析函数的性质，给出共形映射函数的具体表达形式。为了证明有限连通区域共形映射到标准区域的存在性主要是求极值问题，直线多角形于圆弧多角形到上半平面或单位圆的共形映射函数具体表示式是用解析开拓的方法得到的，关于解析函数序列收敛性的结果也是共形映射许多定理证明中的重要工具。关于调和函数一些边值问题解的存在性证明，主要依赖于一些解析函数边值问题的可解性。比如多连通区域上解析函数的基本边值问题及第一，第二，第三与混合边值问题及非正则斜微商边值问题。可以用下调和函数或共形映射的方法证明多连通区域上调和函数Dirichlet边值问题的解的存在性，然后在对边值问题的解作出先验估计的基础上，使用连续性方法与其他方法证明前秒速解析函数Hilbert边值问题的可解性，至于解析函数的连接边值问题，可以用Cauchy型积分的常用方法[2]。
2 调和函数的定义与解析函数的关系，极值原理
本章主要介绍什么是调和函数，调和函数和解析函数之间的关系，调和函数的极值原理，并简要的做了证明。
文章开头我们首先回顾一些调和函数的定义。
2.1 调和函数的定义
定义1.设D是复平面C上的一个点集， 是定义在区域D内的两个实变量的函数。若 在D内有连续的二阶偏导数并且满足Laplace方程
，
则称 是区域D内的调和函数。
若 在 的某个邻域内是点点可导的，则我们称 在点 是解析的，若 在区域D内是点点解析的，则称 在区域D内解析。若对每一个 ，按照已经指明的规则都对应着C上一个确定的点w。则称 是D上的单值函数。如果 在D上单值，并且对于D的两个不同的点，也对应两个不同的点，则称 在D上是单叶的。由这些知识则可以给出共轭调和函数的定义。
定义2.若 是区域D内的解析函数，则它的实部 和虚部 都是调和函数且满足Cauchy-Riemann方程
称v 是u的共轭调和函数[1]。
2.2 调和函数与解析函数的关系
调和函数与解析函数的关系非常密切，解析函数 的实部 和虚部 都是调和函数。既然这样，那么对于给定调和函数 ， 能否找到一个 使得 ， 恰好是 的实部和虚部？