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定义1.7[4] 对半群 ，设 为 的非空子集，若 ( )，则称 是 的左(右)理想，左(右)理想又称单边理想；如果 既为 的左理想又为 的右理想(即 )，则称 是 的理想，理想又称双边理想.若 为半群 的理想，且 为 的真子集，则称 为 的真理想； 为半群 的理想，若不存在其他 的真理想 ，使得 为 的真子集，则 被称为 的极大理想.
定义1.8[3] 对半群 ， ，若 ，则称 为 的幂等元.若半群 中仅含有幂等元，则称 为带.
定义1.9[3] 对半群 ，若对于每个元素 ， 及唯一的 使得
= ， = ,则称 为 -逆半群.
定义1.10[8] 对半群 ，若 是逆半群,且对于 ， ,使得 = ，则称 为 -逆半群.
定义1.11[3] 对半群 ，若对于 ， ，使得 ，则称 为 半群.
定义1.12[3] 如果半群 为 -正则的,且 中每一正则元都为完全正则的，则称 为 -半群.
定义1.13[3] 设 为完全 -正则半群， ， 和 分别表示 在极大子群 中的逆和元素 = .
在本文中分别用 与Reg 来表示半群 的幂等元集与正则元集. 并分别用 ， ， 表示 的所有真理想的并集、所有真左理想的并集、所有真右理想的并集. 若 ，用 表示使 Reg 的最小的正整数 ，称为 的正则指数.
2.正则半群的性质
2.1左(右)正则半群的性质
引理2.1.1[5] 设 为半群， 为完全正则的当且仅当 ，有 .
引理2.1.2[3] 设 为半群， 为完全 正则的当且仅当 ， ，使得 .
性质 2.1.1 设 为半群， ， 为左(右)正则元，则对 ，有 .
证明 用数学归纳法证明，
当 时，由 知 成立
设 时成立，则 ，于是 ，
进而有 ，
即当 时成立.
性质 2.1.2 若半群 是左(右)正则的，则 的任意左(右)理想也是正则的.
证明 设 是 的左(右)理想，对 则有 ( )，又因 是左(右)正则的，由性质2.1.1可知 ( )，所以 ( )，即 左(右)正则.
性质 2.1.3 为半群， 是 中的左正则元，设 ={ | = ， }，则下列四个条件等价：
（1） 中有幂等元；
（2） 使 = ；
（3） 是幂等元；
（4） 是 的子半群.