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1.1 极限的定义
根据不同的变量及过程而有所不同，所以极限的定义具有多样性，在本文中主要介绍几种常用到的极限的定义.数列极限的定义用逻辑符号可表为：
函数极限的定义：
1.2 极限的性质
数列极限的性质:
(1)唯一性 若数列 收敛，则它只有一个极限.
(2)有界性 若数列 收敛，则存在正数 ，使 ,
(3)保号性 若 ，则对任意一个满足不等式 ， 的 ，都存在正数 ，使当 时， .
(4)若 ， ，且 ，则 .
(5)迫敛性（两边夹） 设 ，且 ，则 .
函数极限的性质：
(1)局部有界性 若 存在，则 在 的某个空心邻域 内有界.
(2)唯一性 若 存在，则它只有一个极限.
(3) .
(4)局部保号性 若 ，则对任意正数 ，存在 的某一空心邻域 ，使对 ，恒有 .
(5)不等式 若 ， ，且有 ， 成立，则 ，即 .
(6)迫敛性（两边夹） 若 ，且有 ， 则 .
1.3 常用的求极限的方法
极限理论在数学分析中的主要应用则是进行极限的求解，下面主要对几种常用的极限求解方法进行分析和举例.
(1)两边夹法
例1 计算极限 ，
解 当 时，有 .因为 .所以
当 时，做变换 ，则
所以
(2)利用重要极限 ，
例2 求极限
解
所以原式
(3)用罗比塔则求极限 罗比塔法则主要适用于 和 两种形式
例3 计算 解
(4)用等价无穷小替换
例4
解 用等价无穷小替换
在利用等价无穷小量进行代换求极限时，需要注意的是：有界变量和无穷小的乘积仍然为无穷小.在求解有界变量与无穷小相乘的极限时，直接采用定理可省去大量的证明以及运算的步骤.