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摘要：矩阵理论在高等代数中属于一个重要理论，在应用数学，计算数学，物理学，经济学以及生物学等相关学科都有着非常重要的应用。一般情况下，矩阵不满足乘法交换律。本文主要刻画了矩阵可交换的条件。设P是一个n×n阶矩阵，若P^2=P^*=P，则称P是一个正交投影矩阵。我们利用矩阵分块的技巧，给出了两个正交投影矩阵可以交换的充要条件。进而，我们还讨论了两个一般矩阵可以交换的条件。21796
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毕业论文关键词： 投影矩阵; 正交投影; 可交换矩阵
ABSTRACT:
Matrix theory is an important theory in advanced algebra , it plays a important role in mathematics and other scientific, such as computational mathematics, applied mathematics, economics, physics and biology. In general, matrix is commutative, or equivalently, for arbitrary matrices and . In this paper, we search for the conditions under which the matrices are commutative.
Let P be of n × n matrix. If P^2=P^*=P, then P is called an orthogonal projection matrix. Using the block matrix techniques, we present the necessary and sufficient conditions under which two orthogonal projection matrices are commutative. Also, we give the conditions under which two matrices are commutative .
Keywords: matrix; orthogonal projection; exchangeable matrix space
目录
目录 3
一.绪论 4
1.1 课题的目的和意义 4
1.2 国内外研究现状与发展趋势 5
1.3 论文的结构框架及主要分析内容 6
1.4 符号说明 7
二.文献综述 7
三.准备知识 8
3.1 希尔伯特（Hilbert）空间 8
3.2投影 8
3.3酉矩阵 8
3.3压缩矩阵 8
四.可交换投影矩阵的刻画 9
五.可交换矩阵的刻画 14
751.研究结论 15
6.1 结论 15
6.2 展望 15
七.致 谢 15
八.参考文献 17
一.绪论
1.1 课题的目的和意义
在高等代数和泛函分析的学习中，我们可以了解到投影是指从向量空间映射到其自身的一种特殊的线性交换，是将我们日常生活中最熟悉的“平行投影”现象的概念化和一般化。就像是现实生活中阳光将将万物投影到地面上形成影子一样，而我们所说的投影在数学学科中则是指：将整个向量空间映射到它的一个子空间上，并且在这个子空间中属于恒等变换。
我们在对线性代数以及高等代数的学习过程中，矩阵属于一个极其重要的组成部分。我们都知道，矩阵具有很多良好的性质，同时可以方便计算，并且能够很在生活中可以帮助我们解决很多实际问题。由矩阵的一些基本理论可以得出，矩阵的运算规则并不等同于数的运算，例如：矩阵的乘法运算规则就不同于数的乘法运算规则，原因在于矩阵乘法不完全满足于乘法交换律，当两个矩阵A和B相乘时，我们知道矩阵B和A相乘的结果却未必有意义；即使是矩阵A乘B和矩阵B乘A都同时有意义的时候，它们的运算结果也未必会相等。换句话说，在一般的情况下，矩阵A,B 和B,A相乘时，有AB≠BA；但是，矩阵乘法也有满足乘法交换律的时候，但是对成立的条件比较苛刻。从这个角度出发，我们探究矩阵AB=BA成立的条件具有极其重要的意义，也帮助我们更好的了解矩阵乘法规则。如果n阶实方阵A和B，两者相乘结果如果满足AB=BA，我们就称矩阵A,B是可以交换的。可交换矩阵属于一类特殊矩阵，它具有一般矩阵没有的特殊性质，故研究可交换矩阵成立的条件，并且更加深入的掌握可交换矩阵的一些性质，对我们构建矩阵理论具有极其深远重大的影响。著名学者Baksalary在他具有奠基性的一篇论文中，对矩阵可交换性的研究结果，给出了一个有趣的结论：假设A和B是M_(n×n)方阵中的两个正交投子，则AB=BA当且仅当AB=〖(AB)〗^2。