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在近两年的研究中我们发现，可交换矩阵和投影矩阵之间存在着某些特殊的联系，更多的学者已经不再局限仅仅对线性代数和泛函分析这两门学科进行研究的现状，他们希望能够在这两门学科中寻求到一些特殊联系，得到一些更加有研究价值的结论。例如对M_(n×n)方阵的正交投子的可交换性的研究，就引起了众多学者的广泛关注，并且通过他们不懈的努力研究和推广，在矩阵可交换方面的研究也得到了让人满意的理想结果。
本篇论文则希望能在现有的研究结果上，对投影矩阵可交换性有更进一步的研究和讨论，探究其满足的充分，必要条件。并将其推广到更加一般的情况上去，探究矩阵的可交换性，并总结得出可交换矩阵的一些良好性质。
1.2 国内外研究现状与发展趋势
21世纪以来，科学技术与计算机技术开始飞速发展，随着计算机的日益普及，使得矩阵的理论在计算机研究方面的应用受到愈来愈广泛的数学学者以及工程技术人员，科技人员的关注，并且得到了不同领域学者们的大力重视和支持。同时，对于矩阵理论的研究范围，也已经不只局限于数学领域，逐渐成为支持各类学科发展研究的重要理论手段。例如在数值分析，数学建模，最优化问题等方面的应用数学分支上就具有及其广泛的应用，同时也在计算机科学，无线电技术和卫星发射等尖端科学领域和社会科学，经济数学等方面具有重要的作用，为我们解决一些实际问题提供有力的依据和保障。对于矩阵理论的在处理复杂工程时，具有表达简单，应用方便，计算简单等优良特性，经常会作为我们最常一种解决问题的方法。通过这几年的研究和发展，越来越多著名学者加入了矩阵的研究，为后续的研究提供了更为广阔的平台，也为矩阵理论的应用开辟了广阔的前景。我们也希望在前人的研究基础上，可以将矩阵更多优良的性质得以应用和发展。
在计算机领域以及矩阵分析中，特殊矩阵的应用就显得尤为重要，尤其是在计算数学，应用数学，经济学，物理学以及生物学等方面，我们大多都会采用特殊矩阵的形式来简化问题，希望从中可以寻求理想的结论。对于特殊矩阵的研究在这几年也取得了一些实质性的突破，这些研究成果推动了计算数学的大力发展和进步。随着对特殊矩阵研究的不断深化以及应用程度的加深，越来越多的学者和技术人员开始重视对特殊矩阵研究，例如对可交换矩阵的刻画。可交换矩阵的研究对数学领域的发展起着推波助澜的作用，同时也对卫星通讯等航天领域的发展提供了有力的保障。
可交换矩阵在线性代数和矩阵理论中都属于一个重要的概念，也是我们前面提到的特殊矩阵的一种，其理论和应用都具有鲜明的特点，但是在我们日常的学习中，可交换矩阵仅仅作为一类求解逆矩阵的工具，并未对此进行过深入的研究。
经过研究和论证，我们发现其实对于一些相对复杂，计算繁琐的数学问题，最终都可以化解为矩阵的运算问题。并且经过对矩阵不同性质的大量证明及计算，科学家们发现，如果我们可以熟练掌握矩阵各类性质，这样我们利用矩阵来解决问题的时候，不仅有利于提高我们的运算速度，同时也可以更方便的用来计算机的编程。但是在运用矩阵计算解决问题的时候，我们需要特别考虑它运算的独特性，即不完全相同于数的计算方式，它并不满足一些运算性质，例如乘法的交换律，消去律等，如在数的计算规则中，我们有：
〖（A+B）（A-B）=A〗^2+B^2
〖（A+B）〗^2=A^2+2AB+B^2
（A-B）（A^2+AB+B^2 ）=A^3-B^3