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摘要:形如 = 的函数项级数称为幂级数.它是一类结构简单,应用广泛的级数,且有很多方便的运算性质.本文通过对幂级数的基础知识的学习，利用幂级数可逐项求导，逐项可积的性质，归纳总结了它在求导，求极限，级数求和，积分计算，不等式证明，欧拉公式推导等方面的应用，并结合例题阐述了它在这几种应用中的技巧和方法.22151
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毕业论文关键词:幂级数；数学分析；应用
Application of Power Series in Mathematical Analysis
Abstract: Series expressed by function terms like = called power series. It is a kind of simple structure, wide application of the series, and there are a lot of convenient operation properties. In this paper, through study of the basic knowledge of power series, using the power series can be item by item, derivation, item by item, the nature of the integrable, summarized its derivation, limit, series summation, integral calculation, an inequation, euler's formula derivation of application, and combined with examples, the application of it in several of the techniques and methods.
Key words: Power series；Mathematical analysis；Application
目 录
摘要: 1
引言 2
1预备知识. 3
1.1.幂级数的定义 3
1.2.幂级数的性质 3
1.3.幂级数的运算法则 4
1.4.泰勒级数与麦克劳林级数 4
1.5.几种常见的函数幂级数展开 5
2.幂级数的应用 5
2.1.幂级数在求导中的应用 5
2.2.幂级数在求极限中的应用 6
2.3.幂级数在级数求和中的应用. 7
2.4.幂级数在近似计算中的应用 8
2.5.幂级数在积分计算中的应用 9
2.6.幂级数在求微分方程中的应用 10
2.7.幂级数在证明不等式中的应用 11
2.8.幂级数在欧拉公式推导中的应用 12
3.结束语 13
参考文献 14
致谢 15
幂级数在数学分析中的应用
引言
幂级数是一类最简单的函数项级数,它不仅是表示初等函数的一个重要的数学工具,而且是研究函数性质的重要手段,故幂级数在数学分析中占有重要的地位.但在一般的教科书中仅仅介绍了它在近似计算等方面的应用.本文着重介绍一下幂级数在其他方面的应用.
幂级数在数学分析中占有重要地位,我在研读幂级数的应用时,大量参考了前人从不同方向的研究成果,比如：在文献[1]参考了幂级数的基础知识;在文献[2]中就数学分析中的典型问题及所用数学方法进行了详细分析,并对幂级数的应用举的不少经典例子;在文献[3]中参考了幂级数的知识并给出求极限,求导数的一些专用典型例题;在期刊[4]中参考了利用幂级数进行函数值近似计算的方法以及对复杂函数幂级数展开的技巧;在期刊[5]中参考了幂级数可逐项求导,逐项积分的重要性质,归纳总结了幂级数在数学分析（计算）中的各种应用,并结合例题阐述了在各个方面应用中的技巧和方法;在期刊[6]中参考了相关例子归纳总结了数学分析中函数的幂级数展开的各种常用方法;在期刊[7]中参考了幂级数的应用中对不等式方面的证明的方法;在期刊[11]中参考了函数 的幂级数展开式,给出了幂级数在推导欧拉公式中的应用.
本文就是在多名学者研究基础上参阅了大量文献,着重利用幂级数在收敛区间内可逐项求导，逐项积分的性质归纳了它在数学计算中的几种应用,并结合例题对幂级数在这几种应用中的技巧和方法进行梳理研究,使其更具有条理性.