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摘要该论文意在研究整函数与无穷乘积的联系，首先简要叙述了论文中涉及有关无穷乘积与整函数的基础知识。然后对无穷乘积的敛散性判定以及整函数的一些重要性质，例如其阶与型，增长性和零点个数进行了详细的研究，其中涉及到魏尔斯特拉斯定理以及阿达马定理这些研究整函数性质的重要理论工具。在这些基础上应用魏尔斯特拉斯公式讨论了整函数如何表示成无穷乘积的形式，并且把理论通过整函数与亚纯函数之间的联系扩展到亚纯函数的范畴，最后将几个常见的整函数以及亚纯函数进行了无穷乘积展开，以此作为上述所有理论的应用举例。22289
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毕业论文关键词: 整函数;亚纯函数;无穷乘积;零点;魏尔斯特拉斯
Title Infinite Product Decomposition and The Applications of The Analytic Function
Abstract
This paper is intended to study the linking of entire function and infinite
product, it briefly describes the basics about the infinite product
involving paper and entire functions Then it introduces the the
convergence of infinite product and pergence of judgment, and some
important properties of entire functions, such as its order, type, growth
and zeros , which involves Weierstrass theorem and Hadamard theorem ,they
are all the important theoretical tool of researching the nature of entire
functions Based on these conclutions, the paper discusses the way that
how entire functions can represent as infinite product form, and makes the
theory extend to meromorphic functions areas through the contact between
the entire functions and meromorphic functions At the last, it gives the
infinite product expansion of several common entire functions and
meromorphic functions, making these product expansions as the example of
all applications in the theory
Keywords: entire function ; meromorphy function ; infinite product ；zeros ; Weierstrass
目 次
1 引言 7
2 正文 8
21 预备知识8
22 无穷乘积的敛散性9
23 整函数的无穷乘积分解12
24 整函数的阶与型15
25 整函数的增长性与零点19
26 常见函数的无穷乘积分解21
致 谢 24
251 引言
无穷乘积是数学研究中一个十分重要的知识，和无穷级数一样，无穷乘积同样是
表现函数的一个很有价值的解析手段。
整函数是目前学习过程中遇到的最为简单和普通的一类函数，因此我们在中学时
所学习的函数无非是以自然数作为其指数的幂函数、多项式、指数函数、正弦和余弦
函数这类的整函数；或是两个整函数的商比如有理函数、正切和余切函数一类的亚纯
函数，我们也称作分式函数；还有以自然数为指数的根式函数、对数函数以及反三角
函数，此类是整函数和分式函数的反函数。这些均可以看作是整函数形式上的延伸。
整函数有很多极好的性质，但在目前我们所接触到的各种专著中给出的各种理
论，一般都要求读者能够有大学课程中解析函数论的基础，而对于我们要研究的复数
域上的无穷乘积，则要求有一定的复变函数论的知识。
本文从各类专著中提取总结与无穷乘积和整函数相关的知识，并将二者很好的联
系起来，使读者在研究函数的无穷乘积分解时，不用繁琐的将各类相关书籍都进行阅
读，而达到预期的学习目标。
本文的内容顺序与参考文献的顺序相关，若欲对本文未涉及到的相关定理定义的
证明进行深入的研究，请对应相关专著进行参考