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2.1 经典数学期望4
2.2 g-期望5
2.3 g-期望与经典数学期望的关系…10
2.4 g-期望的例子10
3 风险测度…11
3.1 风险11
3.2 可接受集11
3.3 风险测度11
3.4 可接受集与风险测度…12
3.5 风险测度与表示定理…12
4 基于 g-期望的风险测度…16
4.1 基于 g-期望的一致性风险测度…16
4.2 基于 g-期望的凸性风险测度17
结论 … 19
致谢 20
参考文献21
1 绪论
1．1 g-期望的提出与发展
从 1944 年开始，日本数学家伊藤清首先由布朗运动引入随机积分，从而建立了
随机微分方程理论，之后开始对随机现象进行研究。但是这一理论只能从当前的状态
出发，得到对将来可能产生的状态的推断，而不能由将来的风险状态倒向进行，从而
确定当前的状态。 1978年， Bismut[2]
对倒向随机微分方程的线性情况进行了相关研究。
1990年，我国数学家彭实戈在与法国学者 Pardoux[1]
的合作中建立了倒向随机微分方
程的非线性情况的基本框架，并证明了其存在唯一性。巧合的是，我们可以把Black
F.和Scholes MS. [3]
提出的 Black-Scholes 期权定价公式看作是倒向随机微分方程的
一个特例。
1997年，彭实戈[4]
以其创立的倒向随机微分方程为基础，开创性地提出了一种新
型的数学期望——g-期望，并且，他指出 g-期望满足经典数学期望的几乎所有性质，
当然，线性性除外。
从g-期望提出至今，随着众多学者的深入研究，对其性质和应用做了许多补充，
获得了大量相关的理论成果，完善了 g-期望的理论体系。
1.2 风险测度的提出与发展
我们在这里介绍金融风险的两种定义，第一种是指由于经济活动中存在不确定
性，从而导致资金在筹措和运用的过程中有遭受损失的可能；第二种是一个金融头寸
引发的所有可能的经济结果，所以可将它定量地描述成一个随机变量
X
。许多学者
提出了我们可以通过大量的风险度量方法来更好地度量风险。由 Albrecht[5]
，可以粗
略地将研究风险测度的方法分为两类：第一类风险度量方法是要衡量风险与某一目标
间的离散程度，而第二类风险度量方法则是用来弥补潜在损失而需要准备的资金。
第一类风险度量方法中属 Markwitz[6]
提出的“均值-方差”（Mean-Variance
Model）模型最为典型。在这个理论中，Markwitz 度量收益水平是依靠均值，度量风
险水平是用方差。多亏了这一开创性理论，现代金融学的研究才能取得长足的进步。
第二类风险度量方法以目前已被广泛应用的风险价值 VaR(Value at Risk)技术为代
表。 风险价值VaR 是指在置信水平给定的情况下, 某金融投资工具或投资组合在给定
的持有期间内所面临的潜在最大损失金额。 均值-方差方法只能在一定程度上反映风险的特征，不能综合考虑不同类型的风
险因子， 从而难以全面地度量风险，更重要的是其不能反映风险暴露的绝对价值。 VaR
考虑的是置信水平给定条件下的最大损失，但仅仅考虑低于 VaR 值的损失发生的可
能性， 也就是并没有考虑尾部风险， 并不能保证置信水平的连续性和分位数的唯一性，
忽略了市场的不完备性，并且没有考虑投资者的风险厌恶。
正是基于对上述风险测度的缺点的考虑，Artzner[7]