1. (R, +)形成一个交换群,其单位元称为零元,记作‘0’。即:
• (R, +)是封闭的
• (a + b) = (b + a)
• (a + b) + c = a + (b + c)
• 0 + a = a + 0 = a
• ∀a ∃(−a) 满足 a + −a = −a + a = 0
2. (R, •)形成一个半群,即:
• (a•b)•c = a•(b•c)
• (R, •)是封闭的
3. 乘法关于加法满足分配律:
• a•(b + c) = (a•b) + (a•c)
• (a + b)•c = (a•c) + (b•c)
其中,乘法运算符•常被省略,所以 a•b 可简写为 ab。 此外,乘法是比加法优先的运算,所以 a + bc 其实是 a + (b•c)。
考虑一个环R,根据环的定义,易知R有以下性质:
• ∀a∈R,a•0 = 0•a = 0;(这也是为什么0作为加法群的单位元,却被称为“零元”)'
证明:a•0 = a•(0 + 0) (环的结合律) = a•0 + a•0 => a•0 - a•0 = a•0 + a•0 - a•0 (环有加法逆元) => 0 = a•0 ; 0•a 同理
• ∀a,b∈R,(-a)•b = a•(-b) = -(a•b);
证明: (-a)•b = (-a)•b + (a•b) - (a•b) = (-a + a)•b - (a•b) (环的结合律) = 0•b - (a•b) = -(a•b) ; a•(-b) 同理,故(-a)•b = -(a•b) = a•(-b)
其中还有一些特殊的环:
幺环 若环R中,(R, •)构成幺半群。即:∃1∈R,使得∀a∈R,有1•a=a•1=a。则R称为幺环。此时幺半群(R, •)的幺元1,亦称为环R的幺元。
无零因子环 若R中没有非0的零因子,则称R为为无零因子环。
此定义等价于以下任何一条:
• R\{0}对乘法形成半群;
• R\{0}对乘法封闭;
• R中非0元素的乘积非0;
整环 无零因子的交换幺环称为整环。 例:整数环,多项式环
唯一分解环 若整环R中每个非零非可逆元都能唯一分解,称R是唯一分解环.
除环 若环R是幺环,且R\{0}对R上的乘法形成一个群,即:∀a∈R\{0},∃a-1∈R\{0},使得a-1•a=a•a-1=1。则R称为除环。
• 除环不一定是交换环。反例:四元数环。
• 非交换的除环是体。
• 交换的除环是域。
主理想环 每个理想都是主理想的整环称为主理想环。
单环 若幺环R中的极大理想是零理想,则称R为单环。
交换环 若环R中,(R, •)还满足交换律,从而构成交换半群,即:∀a,b∈R,有ab=ba,则R称为交换环。
域
到当前书本上出现过三种对域的不同定义,
第一种定义:设F是一个有单位元e1(≠0)的交换环(即对于乘法运算可交换)。如果F中每个非零元都可逆,称F是一个域。比如有理数域,剩余类域,典型域,有理函数域,半纯函数域等等。
第二种定义,设(R,+,•)是环,如果(R,+)和(R-{0}, •)都是交换群(“0”为(R,+)的幺元)且满足分配律,则称(R,+,•)是域。比如:有限整数环(R,+,•)必是域。
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