第三种定义:设F是一个含有非零数的数集。如果F对于数的四则运算都封闭,那么称系统(F;+,-,×,&pide;)为一个数域。
举例:有理数域(Q,+, •),实数域(R,+, •),复数域(C,+, •),etc
但整数集Z不是域,因为1/x不是整数。(整数集Z是一个环,更准确的说是整环)
2.2序
二元关系
数学上,二元关系(binary relation)用于讨论两个数学对象的连系。诸如算术中的「大于」及「等于」,几何学中的"相似",或集合论中的"为•..之元素"或"为•..之子集"。
二元关系有时会简称关系,但一般而言关系不必是二元的。集合 X 与集合 Y 上的二元关系是 R=(X, Y, G(R)),其中 G(R),称为R 的图,是笛卡儿积X × Y的子集。若 (x,y) ∈ G(R) ,则称x 是 R-关系于y ,并记作 xRy 或 R(x,y)。否则称a与b无关系R。
但经常地我们把关系与其图等同起来,即:若 R ⊆ X × Y ,则R 是一个关系。
二元关系可看作成二元函数,这种二元函数把输入元 x ∈ X 及 y ∈ Y 视为独立变量并求真伪值。若X=Y,则称 R为 X 上的关系。
关系的性质主要有以下五种:自反性,反自反性,对称性,反对称性和传递性。
偏序
设R是集合X上的一个二元关系,若R满足:
Ⅰ 自反性:对任意a∈X,有aRa;
Ⅱ 反对称性(即反对称关系):对任意a,b∈X,若aRb,且bRa,则a=b;
Ⅲ 传递性:对任意a, b,c∈X,若aRb,且bRc,则aRc。
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