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    摘要：混沌现象的一个重要特征就是其动力学行为异常复杂。本文通过设定一个参考态，以此为基础定义了映射系统的指向相，将复杂的混沌行为抽象为简单的指向相序列。于是，混沌映射系统的分岔行为可看作 “相变”。我们考虑两个一文的混沌映射系统，通过研究发现，尽管系统的分岔行为看似无序，但是从相变的角度进行分析，系统在相变过程中的序参量 却与参数 满足确定的标度关系：  。这意着看似复杂多变的分岔行为在本质上可能就是由简单的规律组成。26466
    毕业论文关键词：   混沌映射    指向相    Logistic映射    Tent映射
    Research on Bifurcation and Phase Transition in One-Dimensional Chaotic Maps
    Abstract: One of the most prominent features of chaotic systems is their complicated dynamics. In this thesis, we have introduced an referenced state, by which to define direction phase of the systems of one-dimensional chaotic maps, thereby transferring the chaotic series into direction phase series. Accordingly, the bifurcations of the one-dimensional chaotic maps can be considered as “phase transitions”. Specifically, we have studied two chaotic systems of one-dimensional maps, and found that the order parameter  of the chaotic maps and the bifurcation parameter   obey a scaling relationship:  , which means that there may exist an simple law behind the complicated bifurcations of the chaotic maps.
       Keywords:  Chaotic maps  Direction phase  Logistic map  Tent map
    目录
    1 引 言    1
    2 一文混沌映射介绍    2
    2.1 Logistic映射    2
    2.2 Tent映射    3
    2.3 Lyapunov指数    4
    3  一文混沌映射相变的序参量    7
    3.1标度律    7
    3.2指向相    8
    3.3参考态    9
    3.3 序参量    10
    3.4  Logistic映射的序参量    10
    3.5  Tent映射的序参量    11
    3.6 结论    12
    4 总结与展望    13
    致谢    14
    参考文献    15
    1 引 言
    真实世界中的现象普遍具有确定性和随机性。如一文简谐振动系统在给定初始条件的情况下，任何时刻系统的位置和速度都是遵循确定的规律。我们说这种运动具有确定性。在布朗运动中，任何时刻布朗粒子的位置与速度都是随机的，故运动具有随机性。混沌现象是一类介于这两者之间的现象，即这种运动现象虽然服从确定的动力学方程，但是却在长时间的运动中表现出类似随机的行为，也就是说差之毫厘的两个轨道最终演化为相距千里。
    混沌动力学研究自19世纪末起，至今已有一百多年[1-3]。随着计算机的发展，人们对混沌运动的规律已有深入的研究，不断探索这种既具有确定性又具有随机性行为背后的机制。如，研究发现在通往混沌的道路上周期3意着混沌；在单峰映射的倍周期分岔过程中，各个倍周期分岔点满足两个Feigenbaum常数： ， [1]。这些普适的规律表明复杂的混沌现象却是蕴涵着一些简单的规律。
    受此启发，本文以一文混沌映射系统作为研究对象，探究其在分岔过程中所可能服从的一些规律。我们通过定义指向相和序参量，将分岔行为转化为“相变”，期望从相变的角度来研究分岔行为。具体而言，我们主要考虑一文的Logistic映射与Tent映射系统。我们发现，在相变过程中，这两个系统的序参量 与系统参数 满足不同的标度关系： ，其中 、 与具体系统有关。该发现可加深对混沌系统分岔行为的理解和认识，同时也说明理论物理中的相变理论是研究混沌行为的有力工具。
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