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摘要：本文给出了矩阵直积的性质并对个别性质进行了证明。根据矩阵直积的定义，给出了矩阵直积的特征值和两个矩阵特征值之间的关系，矩阵直积的行列式与原行列式之间的关系，矩阵直积的秩和原矩阵秩之间的关系，通过矩阵的直积，给出一类特殊的矩阵方程AX+XB=F的可解判别方法，并通过实例给出了具体解法。28539
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毕业论文关键字：矩阵直积；矩阵拉直；特征值；矩阵方程
Matrix Properties And Applications of Direct Product
Abstract: In this paper, based on the extensive literature, some properties of the direct product of matrices and prove the properties of the inpidual. According to the definition of matrix direct product, set the feature matrix direct product value and the relationship between the two eigenvalues of matrix, the relationship between the determinant of matrix direct product and primary determinant, the relationship between the original and the rank of matrix direct product of matrix rank the Kronecker product of matrix, solution method gives a class special matrix equation AX+XB=F, and gives a concrete solution by examples.
Key words: Matrix direct product ；Matrix straight；The eigenvalue; Matrix equation
目 录
摘要1
引言2
1.矩阵直积的定义及性质3
1.1 矩阵直积.3
1.2 矩阵直积的性质.3
2.矩阵直积在解矩阵方程中的应用9
2.1 矩阵的拉直.9
2.2 线性矩阵方程10
3.结束语.14
4.参考文献.15
5.感谢语.16
矩阵直积的性质及应用
引言
矩阵是一门重要的基础课程。作为一种数学工具，矩阵理论在数学学科与其他科学技术领域都有广泛的应用。对于从事工程技术工作的人来说，掌握矩阵理论和方法是必不可少的。而在系统控制工程领域，经常遇到矩阵方程 的求解问题，其中 ， ， 为已知常数矩阵， 为未知矩阵. 这就需要我们熟练的掌握矩阵直积的性质，利用矩阵的直积和拉直，从矩阵的特征值及特征向量着手，引入矩阵直积的特征值及特征向量的求法，将其应用于矩阵方程 .
文献[1]-[4]在给出了矩阵直积的概念的基础上讨论了相关的一些性质，并对其进行了证明；文献[5]-[6]则对矩阵方程的可解性及解法进行了系统的讨论；文献[7]-[10]则提出了利用矩阵直积由已知正交变换到新的正交变换的几种构造方法。
本文在参阅大量文献的基础上，给出了矩阵直积的其它性质，对相关性质进行证明；并通过直积对矩阵方程 进行进一步的探讨，给出矩阵方程有唯一解的充要条件。
1. 矩阵直积的定义与性质
1.1 矩阵直积
定义1.1 设 ， ，称如下的分块矩阵
为 与 的直积（Krionecker积，张量积），记为 . 是一个 个块的分块矩阵，简写为 ．
显然 与 为同型矩阵，但一般 ，即矩阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵，有 .
例1. 设 , ，则
， .
定义1.2 若 ，则 =
，称 为向量 与 的外积.
1.2 矩阵直积的性质
根据矩阵直积的定义给出矩阵直积的如下基本性质：