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摘 要：循环环，模 剩余类环，高斯整数环是几类特殊的环，本文通过学习循环的同态性质证明了循环环的相关性质，并利用不同剩余类环中同阶子环的同构关系，即对于 的每一个正因子 在同构的意义下存在唯一一个 阶循环环 它同构于的 阶子环，得到环的某些性质．并且给出了高斯整环的若干性质，从而解决了一个猜想:高斯整数环的商环 的元素个数为 ．29226
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毕业论文关键词：循环环；模 的剩余类环；高斯整环；同构
A Few Kinds of Special Properties and Applications of Rings
Abstract: Circular ring, die residue class ring, integral ring is the comparison of the several special ring, this article through the cycle of homomorphic nature proved some properties of circular ring, and discusses the subring of residue class ring with different order isomorphism relations, namely for every positive factor in the sense of isomorphism exists only a circular ring with a definition It is isomorphic to order subring. And gives some properties of integral ring, conjecture, solved a number of elements in the quotient ring of integral ring is.
Key words: Circular ring; Die residue class ring; Basic properties; Gauss integral ring; Homogeneous
目 录
摘 要 1
引言 2
1．预备知识 3
2．几类特殊的环的性质 5
2.1环的一般性质 5
2.2循环环的性质 6
2.3模 的剩余类环 的性质 7
2.4高斯整环的性质 8
3．几类特殊环的应用 10
参考文献 15
致谢 16
引言
环是有两个代数运算的代数系统．我们在数学特别是在高等代数中，遇到的很重要的讨论对象，例如:数、多项式、函数以及矩阵和线性变换等，都有两个代数运算．在近世代数中研究环的性质，这有极为重要的现实意义．环是最基本最重要的具有两种代数运算的代数系统．19世纪初，开始了关于实数域的扩张和分类的研究，环的性质的研究由此开始．此后，在魏得邦、诺特、阿廷及雅各布森等人的不断研究下，环论的研究不断发展，日臻完善，现在已成为代数学研究的一个重要分支．
本文通过循环环的同态性质得到了循环环的一些重要性质，并研究了不同剩余类环中同阶子环的同构关系，即对于 的每一个正因子 在同构的意义下存在唯一一个 阶循环环 它同构于的 阶子环．并且给出了高斯整数环的许多性质，本文给出了 的构造，证明了商环 的元素个数恰是 ．
1．预备知识
定义 设R是一个非空集合，具有两种代数运算:加法（记作“+”）与乘法（记作“ ”），若
(1) 是一个加群；
(2) 是一个半群；
(3) ，都有 ， ，
称 是一个结合环，记为 ．
由于环 关于加法是一个加群，故 有零元0， 有负元- ．
在环的元素之间进行乘法运算时，通常符号 可以省略，即将 写成 ．而且在环的运算中，当无括号时，总是先乘后加．
定义 若环的乘法运算 满足交换律，则称 为交换环．
定义 若在环 中，半群 有单位元，则称 是有单位元环．
定义 设 是一个环， ，若 ，使 )，
则称 是 的一个左（右）零因子．当 既是 的左零因子，又是 的右零因子时，则称 是 的零因子．
定义 设是一 个环，若 至少含有两个元素,