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本文就复数项幂级数和解析函数项幂级数表示法以及解析函数幂级数的应用三个方面来展开讨论.首先在第一部分,定义了幂级数、其敛散性以及基本运算规律、以及泰勒定理和洛朗定理.在本文的第二个部分,通过了解相关书籍与文献资料,站在前人的肩膀上借助已有的结论,归纳总结了将解析函数展开成泰勒级数的一些常用方法.在本文的第三个部分提出了解析函数幂级数在三角级数求和方面和积分运算方面的应用,并通过实例分析介绍应用这些方法的解题过程.
1 复数项幂级数
在解决有关解析函数问题时就会得知,幂函数对于解析函数有很特殊的意义,在平时的学习中幂级数就是解析函数最主要的研究形式.幂级数在理论和实际上的应用推进了对幂级数和解析函数分析性质的研究.在本部分的内容中,主要对幂级数的基本概念、主要性质和重要定理进行分析归纳.
1.1幂级数
1.1.1 幂级数概念
设复变函数列 ， 定义在 ，则其可表达为
称之为复变函数项级数；
称之为复变函数项级数 的前 项部分和．
对于 ，若 存在，称级数 在 收敛， 为它的和．
若在 内函数幂级数处处收敛，那么它的和是 内的一个和函数