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摘要本文由微积分的历史背景起笔，介绍了微积分的漫长起源和发展。同时回顾了大学前两年间，在课堂上学习到的有关微积分的具体知识。给出了一元函数，二元函数的可微性及可积性的定义和条件，引出了大家所熟悉的牛顿莱布尼茨公式，格林公式，高斯公式和斯托克斯公式。随后，本文给出了微分流形的定义，并在光滑流形中引入了光滑函数，推导出了单位分解定理，给出了可定向流形的定义。为了讨论定向流形中的微分运算，我们给出了外微分式的定义，并在其中定义了外乘积和外微分算子。最后，我们给出了流形上的积分，并用流形中的斯托克斯公式将格林公式，高斯公式和我们熟知的斯托克斯公统一起来。30097
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毕业论文关键词 微分流形 外微分式 单位分解定理 斯托克斯公式
Title The Relationship between Differential and IntegralAbstractIn the essay, starting with the historical background of calculus, this paperintroduces the long origin and development of calculus. At the same time, specificknowledge of calculus is given learned in the first two years at university. Thedefinition and conditions of differentiability and integrability of simplefunction and binary function can be obtained in the essay. Next, Newton LeibnizFormula, Green Formula, Gauss Formula and Stokes Formula are raised. Subsequently,the paper gives the definition of differential manifolds, and introduces the smoothfunctions in smooth manifold, the decomposition theorem of the unit, and thedefinition of orientable manifold. For further discussion of differentialoperation in orientable manifold, the paper also gives the definition of theexterior differential form, and in which defines the product and exteriordifferential operator. Finally, integral operation on orientable manifold isgiven, in which the Stokes Formula unifies the Green Formula, the Gauss Formulaand the familiar Stokes Formula in 3-dimension Euclid space.
Keywords Differential manifolds Exterior differential form The decompositiontheorem of the unit Stokes Formula
目 次
1 引言（或绪论） 1
1.1 微积分学简史 2
1.2 高等数学中的微积分理论2
2 微分流形 9
2.1 微分流形的定义 9
2.2 光滑流形与单位分解定理 12
2.3 流形的定向 20
3 外微分式 2 1
3.1 外微分形式21
3.2 外乘积与外微分23
3.3 外微分的性质24
4 流形上的微积分 26
4.1 流形上的积分26
4.2 斯托克斯公式28
结论 32
致谢 34
参考文献35
1 引言（或绪论）1.1 微积分学简史微积分学是微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus）的统称，英文简称为 Calculus，意为计算。微分是函数的细微增量，函数的微分就是它在某一点的导数值乘以以自变量为起点的增量，它近似等于函数的微分增量。积分则刚好与微分相反，它在数学思想中，是微分的逆向思文。在高等数学里面，微分可以被看作是“无限细分”，积分则被理解为“无限求和”。其中的无限也就是我们在数学里所说的极限，微积分正是建立在这种极限的思想之上，它是用运动的思文来看待和研究问题。微积分堪称人类智慧最伟大的成就之一。[1]微积分学思想的起源，形成与发展，经历了一个漫长的时期。（1）早在古希腊时期，作为极限理论的先驱，欧多克索斯就提出了穷竭法。它指出“一个量如果减去大于其一半的量，再从余量中减去大于该余量一半的量，这样一直下去，总可使某一余量小于已知任何量。”（见《几何原本》卷 X，1）。这个定义使得古希腊数学家在论证过程当中可以不使用“无穷小量”这个词，而是仅仅使用只需有限步可做到的穷竭法就够了。我国庄子也在《天下篇》中说过：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，这同样具有极限的思想。真正促进积分学思想形成的当推阿基米德。他在《抛物线求积法》一书中使用穷竭法求出抛物线弓形的面积。其方法是：初次作出与该弓形同底等高的三角形，然后将这些三角形面积加起来。阿基米德给出，第n 步时，这些三角形面积之和为2 11 1 1(1 ... )4 4 4nA （A 为第一个三角形之面积）。然后他又指出2 1 11 1 1 1 1 4(1 ... )4 4 4 3 4 3 n nA A 阿基米德对 11 13 4n用穷竭法和反证法证明，抛物线弓形面积既不能大于、也不能小于43A。他用“有限”形式的穷竭法来证明，过程是严格的，但并未使用极限和无穷小量。公元 263 年，我国数学家刘徽为《九章算术》作注时提出“割圆术”：用正多边形逼近圆周。他说：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。