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摘要:本文是通过查阅大量的资料，从中学习到利用很多种不同的方法给出了二阶变系数常微分方程的不同形式的解，给出了二阶变系数常微分方程的一般通解公式，并且讨论了这几种方法的局限性和它的一些发展方程。其中我们最常见的是常数变易法，我们由二阶的线性变系数常微分方程推广到 n 阶的变系数常微分方程的通解形式，且讨论了 n阶变系数常微分方程的求解难易程度。我们在求解线性微分方程的过程中，涉及到了求解非线性的微分方程的问题，我们也给出了相关的讨论，并且又给出了几种非线性的微分方程的通解形式。在本文的最后，我们甚至利用数值分析的方法给出了数值解与精确解之间的误差，并以图像的形式直接的表达出来。30000
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毕业论文关键词 变系数线性常微分方程 非线性变系数常微分方程 伯努利方程 Riccati 方程
Title Study on the solutions of constant differentialequations with variable coefficientsAbstractThis paper is through access to a large number of data, from learning to use manykinds of different methods are given the variable coefficient of the second orderoften different forms of differential equation solution, given the variablecoefficient of the second order often differential equations of the general formulaof general solution, and discuss the limitations of these methods and itsdevelopment equation. Which is the most common method of variation of constants,we by a second-order linear variable coefficient ordinary differential equationsis extended to n-order Variable Coefficients often differential equations of theform of the general solution and discuss the n-order Variable Coefficient ordinarydifferential equation solving difficulty degree. We are in the process of solvinga linear differential equation, which relates to the problem of solving thenon-linear differential equations. We also give the relevant discussions, and alsogive the several nonlinear differential equations of the form of the generalsolution. In the end of this paper, we use the numerical analysis method to givethe error between the numerical solution and the exact solution, and express itdirectly in the form of the image.
Keywords Variable coefficient linear ordinary differential equation Nonlinearvariable coefficient ordinary differential equation Bernoulli equation Riccatiequation
目录
第一章绪论.1
1.1变系数常微分方程的研究意义1
1.2变系数常微分方程的研究现状1
1.3本文结构及主要研究结果..4
第二章线性变系数常微分方程5
2.1二阶线性变系数常微分方程.5
2.1.1Liourille公式法.6
2.1.2线性变换法7
2.1.3常数变易法8
2.1.4降阶法10
2.1.5幂级数法..11
2.2N阶变系数非齐次线性微分方程的通解.13
第三章非线性常微分方程17
3.1伯努利（Bemoulli）方程17
3.2形如()nyaxybxyfxycxy的常微分方程..19
3.3Riccati方程20
3.4几类高阶非线性微分方程的解.23
3.5Matlab数值分析25
结论29
致谢31
参考文献..32
第一章 绪论1.1 变系数常微分方程的研究意义常微分方程的起源和发展历程离不开运动力学、天文学、物理学和其他相关的科学和技术的发展。像复变函数、李群、组合拓扑学等等的数学的其他的一些分支的新进展，都给常微分方程的发展造成了重大的影响；由于当前计算机技术的飞速进展，更是给变系数常微分方程的应用和理论的研究提供了便利。由于很大多数微分方程都是不能简单的利用初等积分来求解的，所以当时的人们能够利用初等积分的方法来求解的微分方程少之又少。在当前，人们已经能够利用一些比较一般的方法，彻底解决线性常系数微分方程的求解问题。但是，人们对于变系数常微分方程的求解问题，到目前为止还没有一个统一的方法。随着科学的进步，常微分方程的理论逐步被完善，利用它我们就可以准确地描述事物的变化和它所遵循的基本规律；我们只要给出相对应的微分方程，在对其进行求解，再对它的数值解进行数值分析。这也就使得微分方程成为了数学最有生命活力的分支之一。在现代，甚至有许许多多社会科学的问题也能够形成微分方程，如人口模型、传染病模型、交通流模型等等。这就使得方程的解法和方程结果的分析至关重要。另外一个方面，从数学本身的角度来看，对于微分方程的求解和分析，更是促使数学在函数论、变分法、级数展开、代数、微分几何等各个学科进行高速发展。从这一个角度来说，常微分方程也就变成了数学文化的中心。1.2 变系数常微分方程的研究现状微分方程的产生与微积分差不多在同一时期先后产生的。法国的数学家刘文尔（Liouville） 早在1841年就提出： 绝大多数的微分方程是不能简单利用初等积分来求解的[1]。创立对数概念的苏格兰数学家耐普尔，他在创立对数概念的时候，就曾经讨论过微分方程的近似解的问题。牛顿在构建微积分概念的过程中，利用级数的思想来求解一些简单的微分方程。再后来，瑞士的数学家雅各布•贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地对常微分方程进行研究，并且丰富了微分方程的理论系统。目前对于常微分方程的研究总的来说有如下几类：对于常系数齐次线性常微分方程，即使是高阶的，由于方程是线性的，从而解可以叠加，因此可通过特征方程求齐次方程的通解。而对于非齐次方程来说，可以用常数变易法[2]、待定系数法[3]、算子解法[4]、拉普拉斯变换法等方法求特解，再用特解加上齐次方程的通解的线性组合，那么原非齐次方程的通解就解出来了。需要注意的是对非齐次方程来说，求特解并非一件容易的事。但是不管怎么说至少从理论上，线性常微分方程解的结构已经搞清楚了。近几年，关于变系数微分方程的解法，已经有了很多的相关研究成果。这些将成果为变系数微分方程的解法提供新的思路。郑国萍[5]等人对二阶变系数常微分方程的系数变易法和恰当因子解法做了一个综述，并给出了求恰当因子的方法；方盛书利用了微分算子的基本运用原理，精确的给出了求解变系数微分方程的算子算法，但是他的解法中，计算公式相当复杂，使用起来太不方便；方辉平[6]等人把二阶的变系数齐次微分方程，转化为 Riccati 方程，而且给出了一种求 Riccati方程的近似解的方法，进而得到求二阶的变系数齐次微分方程的初值问题近似解的研究方法；杜庆研究了形如 0 y p x y q x 的二阶变系数线性常微分方程，他在已知一个特解 1 y x 的前提下，利用线性变换，找到一个既与 1 y x 线性无关的，又可以由变系数 p x 、 q x 共同表达的特解 2 y x ，从而使二阶变系数线性非齐次常微分方程的通解可用其系数 p x 、 q x 明确的表达出来；陈焕艮[7]等人更是直接给出了一类变系数微 分 方 程 的 通 解 公 式 ， 具 有 一 定 研 究 意 义 ； 肖 建 中 [8]创 造 性 的 总 结 了 形 如 01nn i n iip x y f x 的解法，反向思考微分方程升阶时所求解的方程变得简单起来。对于变系数微分系统，使得系统的求解变得更加复杂，因为这并不仅仅是一个因变量，而是多个因变量与自变量的关系。汤光宋[9]给出了二文常系数线性微分方程系统的通解公式，并以其为引理进一步提出了三类二文变系数线性微分系统分别借助自变量变换、因变量变换以及先自变量变换再因变量变换，使其可化为常系数的二文线性微分系统，从而得到这三类二文变系数线性微分系统的通解公式。