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摘要Herglotz函数在函数论领域非常重要, 这类函数在复平面除实轴外解析, 实轴上与一个测度对应. 对于自伴线性算子来说, 它的预解式就是Herglotz函数, 它在实轴上的特征正是其谱特征，这类函数对于线性算子谱理论的研究非常有用.
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本文首先给出了Herglotz型函数的定义及性质，第二章进而分析其表达式特征.第三章在算子理论中讨论Herglotz函数.第四章通过加权的Sturm-Liouvile方程探讨了Herglotz函数的零点和极点. 第五章引入谱论，说明Herglotz函数谱的几何特性；建立Herglotz函数值分布理论，并推导出其边界性质及Herglotz函数相应极限值分布的估计值 .30203
关键词 Herglotz函数 算子理论 零点 极点 谱理论 值分布
毕业论文设计外文摘要
Title Herglotz Functions
Abstract
Herglotz functions are very important in the field of function theory. The functions of Herglotz class are analytic in addition to real axis in complex plane and there is a measure associated to it on real axis. The characteristics of Herglotz functions on real axis are exactly the spectral characteristics of which. Thus, the Herglotz functions are quite useful in study of spectral theory of linear operators.
In this paper, we firstly gave the definition and properties of Herglotz functions. Then, in chapter 2, we analyzed the characteristic of Herglotz functions. In chapter3, we discussed the Herglotz functions in Operators Theory.
In chapter 4, we discussed the poles and zeros of Herglotz functions by weighted Strum-Liouvile function. Finally, in chapter 5, we show how spectral theory for Herglotz functions and differential operators is related to and dependent on the geometrical properties of the complex upper half-plane, viewed
as a hyperbolic space; we established the theory of value distribution and derived estimates of boundary behaviour and associated limiting value distribution for Herglotz functions.
Keywords Herglotz functions poles and zeros spectrum value ditribution
目 次
1 引言 1
2 Herglotz型函数的特征 2
3 算子理论 5
3.1 算子 5
3.2 Herglotz型函数 5
4 Herglotz型函数的极点和零点 7
4.1 加权的Sturm-Liouvile方程 7
4.2 极点和零点 7
5 Herglotz型函数的谱理论和值分布 16
5.1 谱论背景 16
5.2 符号建立 16
5.3 Herglotz型函数的值分布 19
5.4 的估计值 21
结论 22
致谢 24
参考文献25
1 引言
Herglotz函数在函数论领域非常重要, 这类函数在复平面除实轴外解析, 实轴上与一个测度对应.
亚纯函数 称为Herglotz函数，若 在上、下半平面解析，且 .
注: 极点和零点都在实轴上.
若函数 为Herglotz函数，则 服从下列积分表达式
其中 ， ，且 收敛.
在算子理论中，一个自伴线性算子的预解式即为Herglotz函数. Herglotz函数在线性算子谱理论中十分有用，如热传导数学处理中的Sturm-Liouvile问题，由于Herglotz函数在实轴上的特征正是其谱特征，因而对研究其谱、逆谱大有帮助.
2 Herglotz型函数的特征
函数 在 的圆上解析，在 上有非负实部. Herglotz和F. Riesz已证明函
数 属于Herglotz型函数的充分必要条件是其满足下列表达式[6]：