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图3.3 近作用元素网格示意图
假设全局网格如图3.4 所示，则如果计算中间斜线所在网格和其他网格的之间的作用时，处在蓝色阴影部分需要进行修正，即快速多极子方法中定义的近场作用部分需要修正。这个修正距离设定的来源于后面3.3 节的关于插值误差的分析。修正采用传统的矩量法来进行计算。可以将阻抗矩阵Z 改写为式(3-16)的形式：
图3.4 近场修正部分示意图
(3-16)
将式(3-16)代入式(3-15)中可以得到阻抗矩阵Z 和电流I 乘积的最终表达式(3-17)。
(3-17)
3.2.4 FFT 加速矩阵矢量乘
如果 矩阵 ，其中 ，矩阵形式为：
(3-18)
我们称这个矩阵为Toeplitz 矩阵。如果这个矩阵的行元素符合向右循环的规律，即：
,for k=1,2,,n-1 (3-19)
此时矩阵 可以化为一种被称为循环矩阵的一种特殊的Toeplitz 矩阵 。其中，
(3-20)
循环矩阵 可以使用傅里叶矩阵 来实现对角化，即表示为式(3-21)
这里 是对角阵，对角线元素是矩阵 的特征值。这个矩阵可以使用傅里叶变换求得。计算复杂度为O(NlogN) 。对于给定n 文向量x，向量x与矩阵 的乘积可以通过下面的式子(3-24)求出。
(3-24)
该过程的计算复杂度也是O(NlogN) 。这样就通过FFT 技术快速地求出了矩阵 与向量x 的乘积。
实际中，对于某些特殊的系统，我们只能得到普通的Toeplitz矩阵，为了实现快速的矩阵矢量相乘，我们需要将Toeplitz矩阵通过一定的变换，变换为循环矩阵，再通过上面的过程来实现矩阵矢量相乘。
如果矩阵 满足下面的式子，则矩阵 为二重的Toeplitz矩阵。
(3-25)
先将 嵌入一个大小为2N 的Toeplitz矩阵 ，即
其中， ，将X嵌入长度为2N的矢量 ，
(3-31)
则矩阵 和矢量 的乘积可以表示为，
通过这样一个过程就可以通过4Nlog(4N) 的计算复杂度快速求出矩阵矢量乘TX。图3.5表示了一个Toeplitz矩阵如何补长为循环阵然后计算矩阵与矢量相乘的全过程。对于3重的Toeplitz矩阵和矢量的相乘可以通过类似的方法，先将3重的Toeplitz矩阵转化为2重的Toeplitz矩阵，然后重复上面的过程，通过8N log(8N)的计算量求得矩阵矢量相乘。
IE-FFT 算法中的矩阵和矢量相乘就是通过这样的一个过程来实现，由于实际应用过程中形成的矩阵方程规模较大，一般采用迭代方法来求解，因而在每次迭代过程中都要重复计算矩阵和矢量相乘，所以和传统矩量法相比IE-FFT 算法可以大幅度的节约计算机内存和计算时间。
图3.5 一个Toeplitz 矩阵Z 和一个矢量v 通过FFT 相乘过程
3.3 IE-FFT算法用于三文自由空间金属散射问题
本节首先通过将IE-FFT 算法应用于自由空间金属目标的散射方面，验证了算法的正确性。并通过计算不同电尺寸的复杂目标的雷达散射截面积（RCS）证明了该算法的高效性。最后考察了IE-FFT 算法用于表面积分方程时的计算复杂度。
3.3.1 数值算法及分析
前面首先详细描述了IE-FFT 算法原理和实现过程以及雷达散射截面积的定义，本节主要通过数值算例来说明算法的正确性和实用性。在没有特别说明的情况下，本小节使用的计算平台为：Intel(R) core(TM)2 Quad CPU Q9500 2.83GHz，内存为8GB。操作系统为64 位Windows 7。求解使用迭代求解相关参数设置：GMRES(30)，迭代精度为 。