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摘要：本论文首先讨论了调和函数的最值原理及次调和函数导出的Perron族；然后通过Perron函数将Dirichlet问题的判定转化为了闸函数的存在问题，从而给出了有解性的充分条件；接着通过Green函数法给出了Dirichlet问题的一般解，并讨论了一些其他的边值问题；另外，本文还对调和测度做了一些讨论，并讨论了Phragmén-Lindelöf定理。
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论文的主要结构如下：
第一章（绪论）介绍了调和函数的一些背景知识。
第二章讨论了调和函数自身的一些性质，主要根据次调和函数的性质引出了Perron族，以此来解决Dirichlet问题。
第三章主要运用Green函数法来讨论Dirichlet问题，并讨论了其他边值问题。
第四章主要讨论调和测度和讨论了Phragmén-Lindelöf定理。
关键词 调和函数 边值问题 Green函数 极值原理 5600
毕业设计（论文）外文摘要
Title Properties and Application of Harmonic Functions
Abstract
In this paper,we firstly discussed the maximum principle of harmonic functions and the Perron family deduced by subharmonic functions.Then we transformed the judgment of the Dirichlet problem to the existence of barrier function by using Perron family,thus we got the sufficient condition of the solution of the Dirichlet problem.Then we utilized the Green's function method to obtain the general solution of the Dirichlet problem,and we also discussed some other boundary value problems.In the end,we discussed the Harmonic Measure and discussed the Phragmén-Lindelöf theorem.
The paper mainly consists of the following parts:
Chapter one introduced some background knowledge of the harmonic function;
Chapter two discusses some properties of harmonic functions,and deduced Perron family by the nature of subharmonic functions,which we could use to solve the Dirichlet problem.
Chapter three mainly used the Green's function method to discuss the Dirichlet problem,and also discussed some other boundary value problems.
Chapter four mainly discussed the Harmonic Measure and discussed the Phragmén-Lindelöf theorem.
Keywords harmonic function; boundary value problem; Green's function; Maximum principle
目 次
1 引言 1
2 调和函数的性质 1
2.1 调和函数 2
2.2 调和函数极值原理 3
2.3 调和函数序列的收敛性质 4
2.4 次调和函数的性质 5
3 调和函数的边值问题 8
3.1 Dirichlet问题有解的充分条件 8
3.2 Dirichlet问题的Green函数法 10
3.3 调和函数的Riemann边值问题 13
4 调和测度和Phragmén-Lindelöf定理 17
4.1 调和测度 17
4.2 Phragmén-Lindelöf定理 22
结论 27
致谢 28
参考文献29
1 引言
对于自然界的规律，可以用各种不同的手段来描述，这里一定要牵扯某些数量关系。随着自然科学的进步，人们对自然界的规律了解得就更加准确，能够用一些确定的公式去表示几个量之间的普遍关系，例如牛顿的万有引力公式：两个质点之间引力的大小与它们的质量乘积成正比，与距离平方成反比。人们可以利用这个公式来计算天体之间的引力，或者人造卫星的轨迹。这类公式的特点是能把几个物理量之间的关系确定出来。
然而自然界的规律往往并不如此简单，自然界中有许多连续分布的量，例如一个物体的温度，电磁场等。为了更深入地研究自然界中的规律，人们便得出了偏微分方程。偏微分方程是描述物理规律的重要数学工具，它可以描述热传导现象，弹性体的变形，电磁波的传播等的规律。另外，其最新的应用已经扩展到经济、金融预测、图像处理及其他邻域 。