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中取 ， ，根据 ， 在 内调和， 当 在 上为零，得到
。
在 上， ， ， 是调和函数。同时，
，其中 是连续的。
在 是连续的， ， 。 在 是连续的。于是
因为 是 内任意一点，故（3.2.3）在 内成立，证毕。
另外，如果 在 上有有穷个不连续点，且有界，则（3.2.3）仍然成立。
3.3 调和函数的Riemann边值问题
本节主要研究调和函数Riemann问题中最简单的一类，将运用求解解析函数边值问题的方法，并给出一个具体的例子。
为此，先给出Hölder条件。
Hölder条件 设 定义于（开口或封闭的）光滑曲线 上。若对 上任意两点 ， ，恒有
这里 ， 都是确定的数，则称 在 上满足 阶的Hölder条件或 条件。记为 或简记为 ，而 称为Hölder指数，若不强调指出指数 ，也可简记为 或 。也可这样理解： 。
然后，我们不带证明的给出Plemelj公式，这个我们将会用到。
Plemelj公式 设 是一条分段光滑曲线， 于 上，则对于任何 （当 为开口曲线时， 不为 的端点），则Cauchy型积分
，
的边值存在，且有下列Plemelj公式：
,
其中 与 表示式中的 当 分别从 的正侧与负侧趋于 时的极限值，而 是 在 处的两单侧切线在 正侧所张的角 。
该公式的证明及研究在文献 中有提到。
然后，我们来看解析函数的Riemann边值问题的提法，设 是复平面中有限条互不相交的封闭曲线组，各 从而整个 已取定了正向。例如，不妨使整个平面分成两组区域，一组记为 ，都位于 的正（左）侧，另一组记为 ，都位于 的负（右）侧，并不妨认为 在 内。那么，Riemann边值问题便是：求以 为跳跃（间断）曲线的一分区全纯函数 ，满足边值条件