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2.3 调和函数序列的收敛性质
本节我们主要探讨调和函数序列的收敛性质，下面我们不带证明地给出如下两个定理。
定理2.3.1 若调和函数序列 在区域 内闭一致收敛，则极限函数 在 内也是调和的。
定理2.3.2 若调和函数序列 在区域 内闭一致有界，则存在 的子序列在 内闭一致收敛。
下面给出一个调和函数序列的性质。为了方便叙述结论，我们引入一个函数
其中， 是一调和函数。有时，我们将之简记为 。
易知， 是连续的。事实上，令 及 。根据调和函数极值原理及自身连续性可知：
，当 时，有
所以函数 是连续的，且是单调递增的。
由此，我们给出推论：
推论2.3.3 调和函数序列 定义在圆型区域 （ ）上，由它们导出的函数序列 在 上一致收敛，若调和函数序列有极限函数 ，那么它在 上是调和的。
证 因为 在 上一致收敛，故 在 上有界。由于
故可知 在 上一致有界。根据定理2.2.2，存在 的子序列 在 内闭一致收敛，根据定理2.2.1，这个子序列 的极限函数在 内也是调和函数，我们记它为 。
由于调和函数序列有极限函数 ，那么 必然与子序列 的极限函数 相同，根据 在 内也是调和函数，那么 自然也是调和函数，定理得证。
另外，文献 中根据调和函数序列的收敛性质给出了Harnack不等式。
2.4 次调和函数的性质
调和函数的满足条件比较强，为了更普遍地得出一些函数的性质，我们引入了次调和函数。同时，引入次调和函数也有助于我们解决Dirichlet问题。
首先，我们来看次调和函数的定义。
定义2.4.1 区域 内的连续实函数 称为是次调和的，如果对于 内的每一点 及任意充分小的 有
易知，对区域 内的调和函数 ，它同样也是次调和函数。
对于次调和函数，同样成立着最值原理。
定理2.4.2 非常数的次调和函数在域内不可能取到最大值。
证 设 是域 内的次调和函数， 。 是 内使 的点集。我们证明，或者 为空集，或者 。在后一种情形 ，这与假定不符。因此只能是 为空集。
由 的连续性， 是闭集。若 是 的非空真子集，那么有 的边界点 。在 内作以 为中心的小圆周 ： 。因为 是 的边界点，所以在 上有 。由连续性，对于任给 ，在 上存在包含 的弧 ，在 上 。在 的其余部分 上 。于是
其中 ， 分别是 和 的弧长。这就得到矛盾，故 为空集。证毕。
在文献 中，还简单介绍了次调和函数的一些性质。
下面，我们根据次调和函数的最值定理，得出如下推论。
推论2.4.3 如果 是 的共轭调和函数，那么对任意的实数 和 ，函数 在边界上能取到最大值或最小值。
证 当 和 中有一个为零时，根据调和函数极值原理，定理自然成立。故我们可以假定 ，那么我们只要证明函数 在边界上能取到最大值或最小值。
我们先考虑函数 ，因为
易知 可取任意小，故函数 是一个次调和函数。同理，函数 也是一个次调和函数。
故当 时， 是一个次调和函数，根据次调和函数的最大值定理， 在边界上取最大值。